Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
Принцип Маха как граничное условие для уравн. Эйнштейна 521
кий» употребляется там поэтому в первом смысле. В данном примере просто не возникает проблемы совместности двух трехмерных геометрий. Том [42] показал даже, что в промежутке между двумя трехмерными геометриями с разной топологией можно установить несингулярную топологию1). Может ли (а если может, то когда) геометрия, наложенная на эту топологию, также быть несингулярной — это другой вопрос, более глубокий.
Вопрос об эффективно эллиптическом характере задачи для тонкого сэндвича
Является ли эллиптической природа сжатого вариационного принципа (62) или тройки соответствующих дифференциальных уравнений? В связи с этим вспоминается другой вопрос, а именно: является ли уравнение
-?- + (Ь- cos 0)11) = 0 (71)
уравнением для собственных значений? Можно было бы думать, что нет, глядя на те значения 0, при которых «колебательный член» или «член эффективной кинетической энергии» X — I/o cos 0 отрицателен. Решение отклоняется там от оси 0. Ho в конечном счете при рассмотрении узлов и собственных значений существенна лишь та область, в которой этот член положителен, а решение осциллирует. Эффективно это уравнение имеет колебательную природу (при Я, превышающем —Ко). Говоря об уравнениях (62) и (66), сейчас трудно еще давать гарантии, но впечатление таково, что в известном смысле они являются эффективно эллиптическими. В задаче для тонкого сэндвича пространство обычно разбивается на области, в которых разность 2T ** -LJ- —(3)/? положительна и вместе с тем положительной должна быть и сдвиговая аномалия Y2, и области, в которых вторая величина должна менять свой знак вслед за первой. В промежутке между одной такой областью и
Cm. также [43J.
522
Глава 15
другой аномалия у2 должна менять знак. Это положение напоминает аналогичный случай в теории смятия оболочек, а именно условия на границе между двумя соседними складками.
Поскольку наибольший интерес для нас представляет сдвиговая аномалия у2, мы рассмотрим ее более подробно. Возьмем уравнение для собственных значений тензора внешней кривизны Kik или, лучше, тесно с ним связанного тензора сдвига у ik = N0Kik- Рассмотрим определитель
Переходы между системами координат изменяют отдельные компоненты у\у но не сказываются на собственных значениях X, а значит, и на коэффициентах при различных степенях X в правой части уравнения (72). Поэтому рассмотрим такую систему координат, в которой в интересующей нас конкретной точке тензор сдвига у диагонален. Обозначим его диагональные элементы (собственные значения X) через А, В, С. Тогда коэффициент при —X в разложении секулярного определителя (А — X) (В — X) (С — X) равен
(SC + CA -I- AB) = J [(Л + ? + Cf — (Л2 + Я2-(-С2)] = =4 ^sP Y)2-Spfl -
В связи с рассматриваемой точкой введем трехмерное пространство с координатами А, В, С. В нем тензор сдвига изображается в виде точки, причем эта точка не зависит от выбора системы координат на гиперповерхности. В пространстве (A, By С) мы можем провести через начало координат прямую с направляющими косинусами (3“,/з, 3“1/s, 3~,/г). Мы можем также построить
Yi Vi
(у! — 1) Yi =
Ys (Y33-*0
= det (vf) — (-у-) % + (Sp y) ^2 — ^3- (72)
= — (сдвиговая аномалия) = . (73)
Принцип Маха как граничное условие для уравн. Эйнштейна 523
двойной конус, осью которого является эта прямая, а угол раствора равен 0, причем
COS 0 = 3 1 2=[Скалярное произведение вектора 3 1/2(I, 1, 1)на (1, 0, 0), или Г
(О, 1, 0), или . (74)
(О, О, I) L
Тогда каждая точка координатной оси будет лежать либо на одной, либо на другой половине нашего конуса. Кроме того, для каждой точки, лежащей на координатной оси, сдвиговая аномалия, согласно уравнению (73), равна нулю. Дальше уже нетрудно показать, что сдвиговая аномалия 1) равна нулю в любой точке на обоих конусах, 2) положительна в любой точке внутри кгждого конуса и 3) отрицательна в пространстве вне конусов.
В каждом из этих трех случаев характер тензора сдвига у? не таков, как в других случаях. Точное же значение тензора сдвига можно найти лишь с помощью
сжатого вариационного принципа (62) или путем ин-
тегрирования уравнений для начальных значений при соответствующих граничных условиях, так что оно определяется начальными значениями на всей гиперповерхности сразу. Ho для определения характера тензора сдвига достаточно знать просто местное значение величины 2Т**11-—(3)#> определяемое из начальных условий. Перейдем теперь от общего случая к конкретному примеру.
Пример, когда обе гиперповерхности, ограничивающие тонкий сэндвич, обладают геометрией идеальной трехмерной сферы
Пусть геометрия обеих гиперповерхностей будет геометрией идеальной сферы
X2у2Z2 W2 = \ , так что для {3)&' (обозначаемой как л;0)
ds2 = a'2 [d%2 -+- sin2x (^G2 + sin2 0 <p2)] (75)
524
Глава 15
и для {6)??' (обозначаемой как л^ + Дл;0)
ds2 = a"2 [d%2 + sin2 х (d№ + sin2 0 г/ф2)], (76)
где а" и a' — постоянные. Иначе говоря, мы рассматриваем однопараметрическое семейство таких гиперповерхностей с параметром X0
