Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
a = a(jfi) (77)
и, фиксируя определенное значение JC0, задаем, таким образом,
da а" — af а и <78) (Как уже отмечалось, величина Ax0 в окончательные результаты не войдет.) Остальные начальные данные представляют собой поток энергии, который мы приравняем нулю, и плотность энергии, которую будем считать не зависящей от точки пространства:
r**-L-L = const (не зависит от Xi 9» ф)- (79)
Спрашивается теперь: какую четырехмерную геометрию нужно заложить между двумя гиперповерхностями, чтобы удовлетворить уравнениям для тонкого сэндвича? Мы должны приписать перпендикуляру к восста-
новленному в точке х» 0» ф, определенную длину. Кроме того, нам нужно будет указать, в какой точке он встречается с гиперповерхностью или задать значения
величин, отмеченных звездочками в следующей формуле для координат этой точки:
X-X*, 0-9% Ф-Ф*. (80)
Учитывая симметрию сферы, проще всего будет взять в качестве пробных величин одни и те же углы для каждой точки из этой пары, т. е. положить все отмеченные звездочками величины равными нулю. Тогда функция сдвига окажется равной нулю:
Nx =-^- = 0 и т. д. (три уравнения). (81)
Мы можем теперь вычислить тензор сдвига. Он определяется относительным увеличением расстояния ме-
Принцип Маха как граничное условие для уравн. Эйнштейна 525
жду парами точек, имеющих одни и те же координаты на обеих гиперповерхностях, скажем (х, 0, <р) и (х+^х» 0 + d0, фН-dcp), при переходе от одной гиперповерхности к другой. Это увеличение расстояния в рассматриваемом случае одинаково для всех направлений и для всех точек и прямо пропорционально относительному увеличению радиуса сферы. Следовательно, собственные значения у? одинаковы:
A=B = C =
Относительное увеличение радиуса ____ I da
Изменение абсолютно произвольного параметра X0 a dx°
(82)
Эта точка в пространстве (Ay By С) лежит внутри одной из половин двойного конуса прямо на его оси. Сдвиговая аномалия положительна:
Y2 = (Sp Tf-Sp А (83)
и не зависит от точки. Подобным же образом заключим, что ковариантная производная ykt равна нулю, так же как и Ni. Поэтому сжатые уравнения для начальных значений (66) будут автоматически удовлетворяться. Остается найти функцию следования W0:
Л|_ = 2Г-^-(3)Я, (84)
или
6/1 da \2_____от**! 1_____/8^
л2 {N0 dx°) ~ZI а* •
Вместо того чтобы явно решать это уравнение относительно N0y мы воспользуемся тем обстоятельством, что величина Nodx0 представляет интервал собственного времени dt между двумя гиперповерхностями, соответствующими значениям нашего параметра X0 и x°+dx°. Только dt и представляет интерес с физической точки зрения. Запишем поэтому
(?)• _ (86)
526
Глава 15
Динамика модели Вселенной полностью определяется уравнением (86), если задать закон изменения плотности энергии при расширении. Этот закон имеет вид
т**± I ___ 8jlG М°2 fQ-7\
~ с4 2 п2аъ
для Вселенной, заполненной первичной пылью (мир Фридмана), и
7'**! I _ const_ (88)
в случае системы, заполненной изотропным излучением (мир Толмена).
Вопрос о единственности. Линейное приближение
Мы не собираемся здесь заново рассматривать старые задачи, а хотим лишь на простом примере выяснить пути исследования вопроса о единственности той четырехмерной геометрии, которая определяется заданием {3)gik, (d/dx°)Wgikt T**±l, T**11. Предположим, что мы не принимаем векторную функцию сдвига Ni = = (%*» 9*» ф*)Дх° равной нулю, а исследуем уравнения, которыми она определяется. He окажется ли тогда другого решения, существующего наряду с уже разобранным привычным решением? К сожалению, три соответствующих взаимосвязанных уравнения второго порядка лишь квазилинейны, а не линейны. Поэтому поставленный вопрос трудно решить, не обращаясь к более глубоким, но и менее очевидным математическим соображениям, так что мы не можем привести здесь решающих доводов. Практически был исследован тот случай, когда вклад вектора сдвига Ni в тензор сдвига
V» = у (W, * + Wh * - -^T «>*„) (89)
настолько мал по сравнению с «главным членом» (82), что мы имеем право рассматривать сжатые уравнения
Принцип Маха как граничное условие для уравн. Эйнштейна 527
для начальных значений (66) как линейные по Ni. Тогда эти уравнения принимают вид
(sin x)-l[^ + (sin Є)-2 + Ctg в % + 4Х*] -
-|-[ж+(51п6г'ж(е'51"в)]=0' <90>
д ( . дв*\ , , . ач-2 д20* , Slnx^lslnx^r)+(sin0)
4-20* — (sin X)'3-^ (sin3 х -%-) —
“(sin©)"2 ж (sin26^)=0, (91)
sin2 0 sin х (sin x -?^) + sin 0 -A. (sin 0 |?) -
- (sin x)'3 ^ (sin3 X -g-) - sin 0 ^ (sin 0 —) = 0. (92)
Можно попытаться получить решение этого уравнения в виде разложения по сферическим гармоникам:
х*(х, 0, Ф) = Sfrm(X) 17(0, Ф). (93)
Полный анализ в таком плане проведен не был. Однако проф. Мизнер на Варшавской конференции указал, что данное уравнение допускает в принципе повороты. Это обстоятельство в дальнейшем было проверено и получило подтверждение. Геометрия трехмерной сферы <??", очевидно, не изменится, если для описания положения точек на ней пользоваться не исходной, а повернутой системой гиперсферических координат х, 0, ср. Ho при этом изменится вектор сдвига Nh, зависящий от выбора координат. При заполнении промежутка между и
