Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
/3 = JT^-(SpK)2+ SpK2-
-L**{g\ А ...))(<3)g)1/2iV0d3x, (49)
которое и необходимо исследовать на экстремум. В этом вариационном принципе, как и в других вариантах лаг-ранжева формализма в динамике, «кинетический» член (SpK)2 — SpK2 стоит со знаком, противоположным знаку «потенциального» члена WRy тогда как в уравнении для начальных значений (23) эти члены входят в плот-
1J Cm , например, [12, стр. 259].
2) Cm. приложение В.
Принцип Маха как граничное условие для уравн. Эйнштейна 5С9
ность энергии с одним и тем же знаком, что вполне понятно. При второй подстановке величины Kij и gaP выражаются с помощью уравнений (18) и (39) через четверку подлежащих варьированию функций Na. Ho одно дело говорить о такой подстановке, а другое проводить ее явным образом!
Подход 3, также полезный: использование при исследовании динамики общей теории относительности одних только дифференциальных уравнений
Как и при подходе 2, при подходе 3 к разработке «плана» общей теории относительности мы прежде всего задаем на замкнутой пространственноподобной гиперповерхности значения Wgik и (d/dx°)№gik. Мы задаем две, так сказать, «близкие» трехмерные геометрии и
(3)??". Затем проверяем, действительно ли они близки, вычисляя функцию W0, а из нее уже по уравнению (22) определяем, мало или нет удаление в собственном времени этих двух гиперповерхностей друг от друга (по сравнению с масштабами пространственноподобных различий между ^cSrf и (3)??"). Точно так же, как и при подходе 2, должны быть, кроме того, заданы плотность энергии и ее поток. Различие же между двумя указанными подходами состоит лишь в том, что четверка потенциалов Na отыскивается путем решения четырех уравнений (23) и (24), а не непосредственным вычислением экстремума интеграла действия в (49). Найдя функции следования и сдвига, мы уже поступаем в дальнейшем точно так же, как при подходе 2: 1) вычисляем внешнюю кривизну Kih\ 2) вычисляем полевой момент ягЛ; 3) с помощью всех десяти уравнений Эйнштейна определяем четырехмерную геометрию в прошлом и будущем.
Проверка эквивалентности вариационного принципа для случая двух гиперповерхностей и уравнений для начальных значений
В правой части уравнений для начальных значений стоят плотность энергии и поток энергии — всего четыре величины. Уравнение же вариационного принципа (49)
510
Глава 15
относится ко всем ковариантным компонентам полей, дающих вклад в эту энергию. Это обстоятельство заставляет задуматься над тем, приведут ли указанные два подхода к одному и тому же результату. Чтобы проверить это, следует проварьировать в уравнении вариационного принципа (49) величины Na и приравнять коэффициенты при бNa нулю. После этого можно сравнить получившиеся уравнения с уравнениями для начальных значений. Сложнее всего варьирование лагранжиана полей; для него
ftIWte". л.. . )| = г *ш0+N0тт (50)
Производные компонент обратного метрического тензора можно найти, исходя из определяющего его уравнения (39). Сначала мы выразим производные функции Лагранжа через тензор энергии — импульса — натяжений рассматриваемого поля с помощью хорошо известной формулы')
T'i = (Y~g)~'(51)
Через Т*а$(т~2) здесь обозначен умноженный на 8nG/c4 обычный тензор энергии — импульса — натяжений (измеряемый в кг • м21сек2 • м3). Заметим теперь, что все те члены в уравнении (50), в которых содержится не-продифференцированный лагранжиан L, пропадают. Остальные же принимают вид
+ (52)
где равняется
т**
Tl 1
TZ-2NkT*0*k + NlN*N?k
N2
ivO
__ (Плотность энергии). (53)
Cm., например, [37].
Принцип Маха как граничное условие для уравн. Эйнштейна 5i 1
Здесь плотность энергии содержит поправку, учитывающую используемую нами косоугольную систему координат. По отношению к преобразованиям координат на гиперповерхности эта плотность является скаляром. Be-
—**ь _*#ь і
личины же Т± и Tj- определяются следующим образом:
^ 4m-^T7m
g --------JT0-----
8я(7
(54)
T**k-L = — T^k = -^4 X (Плотность потока энергии).
Величина плотности потока энергии также приведена к косоугольной системе (наклон поверхности к оси х°). Она представляет собой контравариантный вектор по отношению к преобразованиям координат на гиперповерхности.
Дальнейшее преобразование вариационного принципа производится прямым путем, и нетрудно во всех тонкостях проверить согласие результатов с уравнениями для начальных значений.
Какие же именно свойства энергии задаются на гиперповерхности?
Наиболее естественным обрлзом энергия задается на гиперповерхности в уравнениях для начальных значений с помощью Т*^± и T^kt а не через Г**, в гораздо большей степени зависящее от выбора координат. Что касается самого варьируемого выражения, то его, очевидно, можно изменять в таких рамках, чтобы только сохранялся вид уравнений для начальных значений. Поэтому функцию Лагранжа, которая может быть и сложной и неизвестной, можно заменить на выражение, обладающее тем же самым значением вариации (52). Поэтому следует искать экстремум для выражения
