Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
6/=6/[і(Е2~В2)+(і’А“рч,)]т^=а (37)
Чтобы решить эти уравнения, следует задать величины, перечисленные ниже.
1. Плотности заряда и тока р и j (обе величины берутся в единицах заряд/длина3) во всей четырехмерной области, ограниченной нашими двумя гиперповерхностями.
2. Вектор В на каждой из этих двух поверхностей, причем так, чтобы div В равнялась нулю. Этому условию можно удовлетворить, задавая на обеих поверхностях вектор А при произвольной калибровке (калибровочное преобразование А —> A + grad Я, где к— произвольная функция, не изменяет физической ситуации).
Потенциалы ф и А варьируются независимо друг от друга повсюду между двумя поверхностями, причем ищется экстремум интеграла /, который зависит лишь от предварительно заданных значений вектора А на этих двух гиперповерхностях.
Подход 1 к общей теории относительности: упор на использование одного только вариационного принципа (нецелесообразный подход)
С учетом членов, описывающих источники, соответствующая форма принципа действия в общей теории от* носительности [29] имеет вид
*) Точнее: четыре, так как одно уравнение векторное. — Прим.
перев.
х , ' 'Sij
- Mg-' (Sp я2 -1 (Sp Я)2)] + 2Np**\j -
— N0 (<3>g)1/2 L** (g", А ...)} dAx — 0. (38)
Принцип Маха как граничное условие для уравн. Эйнштейна 503
Этот вариационный принцип получается путем добавления к обычной плотности лагранжиана общей теории относительности ґ«+і]к=ї дивергенциального члена и введения обозначений для потенциалов АДМ. Здесь через L** обозначен инвариантный или скалярный лагранжиан тех полей, которые обладают энергией и генерируют гравитационное поле; он умножен на 8kG/c4. Его можно выразить 1) через ковариантные компоненты этих полей (например, компоненты электромагнитной напряженности Fap) и 2) через элементы матрицы g»v, обратной
[ (Z) eJk_ NiN^ ЛГМ
Ni Ni
«•"= N± _± • (39)
* о N20 .
Здесь ^gjk- матрица, обратная (3)gy*, а
Ni=^gjkNk. (40)
В соответствии с уравнением (38) мы должны варьировать 16 функций точки в пространстве и времени между двумя поверхностями, так чтобы интеграл достигал экстремума. Из этих 16 величин десять — компоненты метрики: шестерка (3)?гь, варьируемых свободно повсюду, кроме гиперповерхностей, на которых их значения считаются заданными, и четверка функций следования и сдвига N0 и Ni (не NiI), которые свободно варьируются повсюду вообще. Остальные шесть величин — компоненты импульса Uii — также могут задаваться без ограничений. Установление импульсов производится так же, как и в случае импульса частицы p(t) в выражении (34). Первоначально функция произвольна в такой мере, что даже ее начальное и конечное значения могут быть любыми. Ho з случае частицы одно из уравнений,
504
Глава 15
вытекающих из вариационного принципа, а именно
^M=wV0- (4,)
позволяет вполне выразить импульс через скорость. Подобным же образом («философия Палатини») уравнение (38) может рассматриваться как задача на экстремум и относительно KiK Тогда мы получим из него шесть уравнений, которыми шестерка Kij определяется через Na и Wgik с их производными. Эти уравнения равнозначны уравнению (19), в котором импульс выражается через внешнюю кривизну, если при этом учитывать, что последняя определяется уравнением (18).
Если мы хотим получить из вариационного принципа (38) дифференциальные уравнения, то нужно 1) варьировать функции следования и сдвига, 2) приравнять коэффициенты при четверке Ша нулю, 3) найти таким образом четыре уравнения для начальных значений — это будут (23) и (24), — относящихся прежде всего к геометрии на последовательных гиперповерхностях, и
4) получить остальные шесть «динамических» компонент из общего числа десяти уравнений поля Эйнштейна, варьируя шестерку Wgik и полагая равными нулю коэффициенты при всех шести бWgik.
Использованию дифференциальных уравнений вообще мы предпочитаем вариационный принцип (в духе Релея и Ритца). Для этого следует 1) подставить в уравнение (38) вместо всех шести nij их выражения через шестерку Wgiji четверку Na и их производные и
2) воспользоваться численными методами или десятью аналитическими пробными функциями (Wgiji Na), зави* сящими от подгоночных параметров, позволяющих экстремизировать интеграл действия /. К сожалению, экстремум часто оказывается седловиной высшего порядка, а не просто минимумом или максимумом, в чем можно убедиться даже на примере элементарной задачи о частице, движущейся в потенциальной яме гармонического осциллятора. В таком случае вариационный принцип обычно не позволяет ни 1) чисто теоретически установить теоремы существования, ни 2) произвести самые вычисления.
Принцип Маха как граничное условие для уравн. Эйнштейна 505
Подход 2 (наиболее предпочтительный): задание значений на двух поверхностях с использованием вариационного принципа в области между двумя бесконечно близкими гиперповерхностями (тонкий сэндвич) для установления этих начальных значений и с использованием уравнений поля для распространения решения на прошлое и будущее; разъяснение на примере электродинамики
