Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Цзю Х. -> "Гравитация и относительность" -> 153

Гравитация и относительность - Цзю Х.

Цзю Х., Гоффман В. Гравитация и относительность — М.: Мир, 1965. — 543 c.
Скачать (прямая ссылка): gravitaciyaiotnositelnost1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 147 148 149 150 151 152 < 153 > 154 155 156 157 158 159 .. 166 >> Следующая


Доказательства теорем существования решений уравнений поля для многообразий с положительно определенной метрикой [35, 36] известны шире, чем для многообразий с метрикой другой сигнатуры. Поэтому было бы выгодно сформулировать вариационную проблему таким образом, чтобы гарантировать положительную определенность метрики. Для этого можно ограничить вариационную проблему областью между двумя бесконечно близкими пространственноподобными гиперповерхностями, на которых заданы начальные значения, а затем распространить полученное решение на осталь^ ное пространство — время с помощью дифференциальных уравнений поля. Лишнеровиц [25] показал, что в случае общей теории относительности такого рода продолжение решения может быть осуществлено с помощью десяти уравнений поля Эйнштейна.

В силу сказанного мы сосредоточим свое внимание на задаче начальных значений для тонкого сэндвича. Руководящие идеи проще всего проследить на примере электромагнетизма. Магнитный потенциал задается на двух поверхностях (А' на х0' и А" на X0"), но в дальнейшем расстояние между ними устремляется к нулю. В этом пределе величины B2 и jA) почти постоянны в области между нашими гиперповерхностями, так как их значения в данной области могут лишь бесконечно мало отличаться от величин, заданных на самих поверхностях. Поэтому вариационный принцип принимает вид

67 = б/рф) flf3JC = °, (42)

и все сводится к варьированию единственного неизвестного потенциала ф. Подобная вариационная задача
506

Г лава 18

хорошо разработана. В результате такой экстремиза-ции, произведенной либо аналитически, либо методом

Релея — Ритца, мы получим потенциал ф, удовлетво-

ряющий дифференциальному уравнению

V^p = — 4лр —div А. (43)

Из этого потенциала следует величина напряженности электрического поля

E= —4г — Srad Ф. (44)

автоматически удовлетворяющая уравнению для начальных значений

divE = 4:np. (45)

Теперь нам известны E и В, которые могут служить не противоречащими друг другу исходными величинами для исследования динамики. Исходя из этих величин, с помощью остальных шести уравнений Максвелла можно определить весь ход изменения электромагнитного поля в прошлом и будущем.

Метод тонкого сэндвича в геометродинамике

Аналогичным образом в теории относительности путем варьирования отыскивают четверку потенциалов — функцию следования N0 и три функции сдвига Nit — при которых тензор внешней кривизны, соответствующий уравнению (18), удовлетворяет уравнениям для начальных значений (23) и (24). После этого можно считать задачу о начальных значениях решенной. Как и в случае электродинамики, мы получим соответствующий вариационный принцип для тонкого сэндвича, переходя к пределу при неограниченном сближении двух поверхностей, на которых заданы начальные значения. Это можно сделать двумя разными способами [29].

1. Зададим почти одинаковые значения ^grik и Выберем для обозначения соответствующих двух гиперповерхностей два совершенно произвольных числа X0' И X0". В определении (18) внешней Кривизны Kih фигурирует слагаемое (d/dx0)(3’>gik. Заменим его отношением
Принцип Маха как граничное условие для уравн. Эйнштейна 507

разностей ((3)g/'* — Казалось бы, вели-

чина Kih будет тогда зависеть от х°" — х°'у но на самом деле это не так, ибо и в Kik и где бы то ни было существенно лишь произведение х°" — X0' на функцию следования Nq. Если мы возьмем для разности X0" — X0' большое значение, то из вариационного принципа получим для N0 малое, и наоборот.

Это свойство инвариантности произведения можно выразить и следующим образом: интервал собственного времени между двумя гиперповерхностями, измеренный по нормали, равен No(x°" — я0') [см. уравнение (22)].

В данной формулировке в качестве варьируемых величин берутся поэтому одни только произведения

Tlo =N0(JP-Jfi1)9 (46)

% = ЛМ*Э”-*Г). (47)

а не величины N0y Nhy х°\ х°"у сами по себе произвольные. Этой формулировке, опирающейся на простые понятия, можно противопоставить другой подход, при котором математически более определенно указывается, какие именно элементы остаются закрепленными во время варьирования ({3)g'ik и (3)&J*).

2. Рассмотрим непрерывное однопараметрическое (л:0) семейство трехмерных геометрий Wgih X1t X2f X3). Тогда исследуемая задача начальных значений определится при нахождении для некоторого фиксированного X0 величин Wgik и (d/dx°)Wgik, Соответствующая вариационная задача может быть получена путем простого отбрасывания множителя dx°, входящего в дифференциал dAx в уравнении (38).

Вариационный принцип для случая двух гиперповерхностей в задаче начальных значений в общей теории относительности

Поскольку теперь мы перешли просто к трехкратному интегрированию, предпоследний член в уравнении

(38) можно проинтегрировать по частям; это даст

2NiniJ\j-> — niJ (Niij + Nji і). (48)
508

Глава 15

В неевклидовой топологии для того, чтобы не внести особенностей, для всего многообразия требуется более одной системы координат. Каждая из них задается на своем собственном координатном участке1). Может показаться, что при интегрировании по частям будет трудно переходить от одного участка к другому. Ho на самом деле нет такой трудности, что гарантировано кова-риантным характером производной, взятой в уравнении (48). Кроме того, в простейшем случае замкнутого пространства — многообразии с топологией трехмерной сферы — поверхностный интеграл обращается в нуль. Пусть тогда интегрирование начинается с окрестностей некоторой точки P в S<3). Будем продолжать его вплоть до границы, обладающей топологией двумерной сферы S&K По мере того как область интегрирования расширяется, S<2> сначала становится все больше и больше, а затем начинает уменьшаться. Когда же интегрирование распространяется на все трехмерное пространство, граничная поверхность стягивается в нуль в некоторой точке, не совпадающей с Р. Поверхностный интеграл пропадает2). He остается и производных от Jtij в уравнении (38). Ввиду этого, где бы ни фигурировали импульсы, их можно без труда выразить через тензор кривизны Кц с помощью уравнения (19), а компоненты Kij при этом выражаются с помощью уравнения (18) только через те величины, которые в самом деле предполагается варьировать, — через функции следования и сдвига. Первая подстановка после простых выкладок приводит к выражению
Предыдущая << 1 .. 147 148 149 150 151 152 < 153 > 154 155 156 157 158 159 .. 166 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed