Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
\Kt -Oi SpKJlAf = -^r- X в направлении /-Й оси).
Эти уравнения связывают внутреннюю геометрию и внешнюю кривизну на одной и той же пространственноподобной гиперповерхности. В связи с уравнениями для начальных значений возникает вопрос: какие величины 1) можно задавать произвольным образом и независимо друг от друга, так чтобы 2) их задания было вполне достаточно для определения всей геометрии четырехмерного мира в прошлом и в будущем?
План 3: совершенно независимое задание полевых координат на двух гиперповерхностях
Эти вопросы в свою очередь приводят нас прямо к формулировке динамики с использованием двух поверхностей, когда импульсов не задают, а задают только координаты (или наоборот), но координаты задаются не
Таблица 15.4
Планы построения теории электромагнетизма и общей теории относительности с точки зрения формулировки динамики, основанной на использовании двух поверхностей (полевые «координаты» задаются на двух пространственноподобных гиперповерхностях, в простейшем варианте — на двух бесконечно близких друг к другу гиперповерхностях)
Электромагнетизм j j Гравитация
Полевые величины, существенные с физической точки зрения, Оіфеделяемьій ими объект, не зависящий от координат Уравнения динамики, выражающие эволюцию этого объекта Потенциалы, вводимые обычно для упрощения анализа этих уравнений Обозначение этих потенциалов в случае, когда пространство — время расслоено на пространственноподобные Компоненты напряженности электромагнитного поля Двойственная форма: система силовых трубок в виде пчелиных сот 1J Восемь уравнений Максвелла Четыре компоненты электромагнитного вектора-потен-циала Art Магнитный потенциал А с компонентами Ak и электростатический, или скалярный, потенциал <р=—Ao Компоненты тензора кривизны Римана Внутренняя структура четырехмернсй геометрии окрестностей точки [поправки к евклидовым данным о расстояниях между парами точек в обширной таблице локальных (геодезических) расстояний] Уравнения, относящиеся непосредственно к компонентам тензора кривизны Десять компонент метрического тензора ^lLlV Шесть компонент трехмерной метрики ^gik, внутренней для слоя; расстояние N0 по нормали между двумя гиперповерхностями, выраженное через
гиперповер XHOCT и
Решение задачи динамики для пространственно-временной области, лежащей между двумя пространственноподобными гиперповерхностями O7 и а", с помощью вариационного принципа
Более простой случай этой вариационной задачи, связанный с формулировкой задачи о начальных значениях и с принципом Маха: две гиперповерхности бесконечно близки друг к другу
Зададим А' на а' и А" на о"; возьмем между ними любые пробные функции . А(х° х1, х2, х3) и ф (JC0, JC1. х2,х3). Вычислим интеграл действия и будем варьировать наши четыре потенциала, пока не придем к экстремальному действию
Зададим А(х!, х2, хг) и
dA/dt; получим упрощенный принцип действия, при котором варьированию подлежит ЛИШЬ ф(Xі, X2, х3)
собственное время на единицу разности временных координат; наконец, разности Ni (или, что удобнее, N Jl=WgkiNi) между пространственными координатами обоих концов таких нормалей, отнесенные опять к единице разности временных координат„ характеризующих эти две гиперповерхности
Зададим(3)?у* {хх, х2. лґ)(определяющее о') и припишем произвольное значение JC0' координате JC0 на этой гиперповерхности; зададим подобным же
образом {3)g”k и х°".
В промежутке выберем любые пробные значения для десяти потенциалов, вычислим действие и определим его экстремум, вырьируя потенцалы
Зададим(3)?.л U1, X2i х3> и </3 gtfc/ot, получим упрощенный принцип действия, при которо-м варьированию подлежат лишь «функция следования» Af0 (х1, JC2, JC3) и «функция сдвига» Nk (Xі, JC2, X3)
Продолжение табл. 15.4
Электромагнетизм Гравитация
Корректно ли определяется вариационная задача в открытом пространстве? Нет Нет
Преимущество этого принципа действия в замкнутом пространстве Нахождение величины <р на пространственноподобной поверхности, в результате чего можно затем вычислить электрическую напряженность E — «импульс», сопряженный уже заданной полевой «координате» В Нахождение величин N0 и Nkt с помощью которых можно вычислить «внешнюю кривизну» Kik тонкого сэндвича или «импульс», сопряженный геометродинамической «координате» или внутренней геометрии <3)gih
Какое уравнение автоматически решается при нахождении этого экстремума? Уравнение для начальных значенй div Е=4яр, содержащее на первый взгляд три неизвестные функции точки в пространстве Уравнения для начальных значений (K?-6?SpK)u = И <3>/? + (SpK)2 SpK2- 16"G fix, в которых, казалось бы, фигурируют шесть неизвестных функций точки в пространстве
Краткая характернстка сложившейся ситуации
Дальнейшие преимущества этого метода
Информация, которая потребовалась для определения эволюции
Мы получили на исходной пространственноподобной гиперповерхности совместную систему значений полевой координаты и полевого импульса
Мы располагаем теперь полной системой совместимых друг с другом начальных данных, необходимой для определения электромагнитного поля во всем пространстве и во все времена
