Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
сдвига»1). Значения обеих этих функций мастер заносит в таблицу для х1 = ..., 12, 13, 14, ... .
1J Величины N0 и Ni были введены в уравнении (16) для описания временно-временной и временно-пространственных компонент метрики (имеется в виду ковариантный тензор с нижними индексами). Контравариантные пространственные компоненты Ni (21J имеют, однако, более непосредственный смысл и значение как координатные «сдвиги» (см. фиг. 15.1), чем первоначально введенные Ni.
Принцип Маха как граничное условие для уравн. Эйнштейна 489
В двух последних столбцах для соответствующих значений даны значения произведений N0 и N1 на число (Jc0" — лг°')=0,04. Один из этих столбцов указывает мастеру, на каком уровне следует срезать распорки, которые он приварил к нижней ленте. Данные другого столбца указывают, насколько в ту или иную сторону он должен сдвинуть верхние концы распорок перед тем, как приварить их к верхней ленте. Скажем, при JC1=Ie та величина, которую можно грубо назвать Nldx°, равна 0,5. Это значит, что соответствующая распорка должна быть приварена своим основанием к поперечной линии, обозначенной через Ar1 = IS, по верхней же ленте следует сдвинуться на 0,5 координатной единицы вправо. Таким образом, этот «отрезок следования» нужо приварить к поперечной линии, характеризующейся х1 = 17,5. То, как от места к месту изменяется «сдвиг» и насколько удалены друг от друга последовательные координатные отметки на верхней и нижней стальных лентах, все вместе определяет, какую собственную кривизну мы придали нашему решетчатому занавесу. Обобщая сказанное на случай трех измерений, мы сразу же поймем структуру выражения (18).
Потенциалы АДМ как длина нормали и разности пространственных координат на ее концах
Для того чтобы указать более точно значение вели-* чин N0 и Nh, вернемся к уравнению (16), определяющему расстояние между точкой (*°, JC1, х2, х3), лежащей на гиперповерхности JC0=Const, и точкой (x°+dx°, ... ..., JC3-MJC3), лежащей на гиперповерхности xP+dx?=* =const. Мы рассматриваем здесь приращения dx как малые, но конечные величины. Закрепим dx° (например, взяв значение dx°=x°"—jc0/=0,04) и будем перебирать на полученной таким образом «верхней» гиперповерхности различные точки в поисках экстремальной величины инвариантного удаления их от некоторой заданной точки на «нижней» гиперповерхности. Варьируя da2 по dxh и приравнивая множитель при bdxh нулю, получаем
2 (3)g„ dx1+2Nk dx? = 0, (20)
490
Глава 15
откуда
dxl = — {3)glkNkdxQ=-Nldx°. (21)
Само экстремальное значение рассматривавшегося удаления
dx = N0 dx° (22)
оказывается, естественно, временноподобным.
Таким образом, «функция следования» N0 дает расстояние между двумя гиперповерхностями, измеренное по нормали к ним (интервал собственного времени) и отнесенное к единице, разности временных координат. Векторная же «функция сдвига» указывает величину разности координат у основания и у вершины нормали, связывающей эти гиперповерхности, причем эта величина опять-таки отнесена к единице разности временных координат, соответствующих взятым гиперповерхностям.
Для определения четырехмерной геометрии, кроме трехмерной геометрии, необходимо задать функции «следования» и «сдвига»
Очевидно, что для корректного определения четырехмерной геометрии недостаточно задания трехмерных геометрий с помощью метрик (3)gih, являющихся внутренними характеристиками однопараметрического семейства гиперповерхностей. Необходимо еще указать, как соотносятся друг с другом эти гиперповерхности, насколько удалены они друг от друга во времени (задать «функции следования») и как они сдвинуты относительно друг друга в пространственном отношении (задать «функции сдвига»).
Любые функции следования и сдвига при любой геометрии определяют полевой «импульс», но любой наперед заданный полевой «импульс», вообще говоря, не будет совместим с любой наперед заданной трехмерной геометрией
Исходя из полевой «координаты» Wgik и скорости ее изменения относительно параметра X0 при заданных функциях «следования» и «сдвига», можно определить
Принцип Маха как граничное условие для уравн. Эйнштейна 491
«внешнюю кривизну» Kik и связанный с ней полевой «импульс» [выражения (18) и (19)]. Обратное же утверждение, вообще говоря, несправедливо. Если мы произвольным образом зададим полевую «координату» (3)gik И полевой «импульс» ИЛИ внешнюю кривизну Kihy то они могут оказаться попросту несовместными. В общей теории относительности независимое задание полевой координаты и полевого импульса не является кор-ректным способом формулировки условий для начальных значений.
Уравнения для начальных значений
Несовместимость произвольно заданной внутренней геометрии полевых «координат» Wgik и произвольно заданной внешней кривизны или полевых «импульсов» TCi^ следует из той четверки уравнений, которую мы выделим из десяти уравнений Эйнштейна и будем называть уравнениями для начальных значений [22—28]:
(3)/? + (Sp К)2 — Sp K2 = 2 X (Плотность энергии), (23)
fisk JtAfo (Плотность потока энергии /гмч
