Теория оптических приборов - Чуриловский В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
y = -L. (1.134)
63
Отрезок $N - величина второго порядка малости
SN = htg±y^±hy. (1.135)
Пренебрегая поэтому отрезком SN, из треугольника ANP находим а = 4
(1136)
и аналогично из треуголника NA'P
а' = А . (I. 137)
Подставляя значения углов у, а и а' из (I. 134), (I. 136)
н (I. 137) в (I. 132), после сокращения на h получим окончательно формулу
"'(-Г-т) = "(-Г-г)- (Ы38)
известную под названием формулы Аббе, хотя она была выведена еще
Ньютоном.
Вследствие сделанного в начале настоящего раздела предположения о
малости углов <в и са', а следовательно, и углов а
и а', луч АРА' бесконечно близок к оптической осн. Если центрированная
оптическая система состоит из ряда преломляющих (и отражающих)
поверхностей, то такой луч останется бесконечно близким к оси на всем
протяжении его хода через оптическую систему. Луч, который проходит
внутри нитеобразного бесконечно узкого пространства, окружающего
оптическую ось системы, будем называть параксиальным лучом.
Очевидно, что формула Аббе справедлива только для параксиальных лучей.
Она связывает отрезки s и s', позволяя определять один из ннх, если
известен второй. Пусть, например, задай отрезок s, определяющий положение
светящейся точки А. Тогда по формуле Аббе можно найтн отрезок s', который
указывает положение точки А'. Прн этом обращает на себя внимание тот
факт, что отрезок s' не зависит от угла а. Это значит, что все лучи,
исходящие нз точки А н образующие с осью различные, но обязательно
бесконечно малые углы а, после преломления пройдут все через одну и ту же
точку. Иными словами, гомоцентрический пучок параксиальных лучей после
прохождения через преломляющую поверхность остается гомоцентрическим. Это
положение, очевидно, распространяется и на центрированную оптическую
систему, составленную нз ряда таких преломляющих поверхностей. Вследствие
этого в области параксиальных лучей мы вправе применять к центрированным
оптическим системам все формулы и положения солинейного сродствй.
64
Формула Аббе позволяет найтн фокусные расстояния преломляющей
поверхности. Для этого сначала убедимся, что обе главные плоскости Я и Я'
совпадают и проходят через вершину S преломляющей поверхности. Представим
себе весьма малый предмет, как бы наложенный на поверхность у ее вершины.
Очевидно, что изображение этого предмета по положению н по величине
совпадает с самим предметом. Следовательно, в точке S находится
совмещенная пара сопряженных точек, линейное увеличение в которых равно
единице, т. е. здесь находятся совпадающие главные точкн преломляющей
поверхности.
Если точка А, двигаясь по оптической осн, удалится на бесконечность, то
точка А' совпадает с задним фокусом F' поверхности, Поэтому можно
записать условия
s = оо; s' = (I. 139)
Подставив (I. 139) в (I. 138) и решив полученное таким образом выражение
относительно f\ находим формулу для заднего фокусного расстояния
преломляющей поверхности
г = О-'40)
Заставив далее точку А' передвинуться по осн на бесконечность, заметим,
что^точка А перейдет прн этом в передний фокус F поверхности. Это
приводит нас к новой паре условий
s = f; s' = со. (I. 141)
Подставив их в формулу Аббе (I. 138), получим выражение для переднего
фокусного расстояния поверхности
f - <1142>
Формулы (I. 140) и (I. 142) позволяют находить фокусные расстояния
преломляющей поверхности, если известны "иг. Так, например, если свет
проходит через поверхность из воздуха в стекло с п = 1,5, получим: / = -2
г; f = 3 г. Если же п - = 1,6, то будет: / =-1,667 г; f' = 2,667 г.
Формулы (I. 140) и (I. 142) можно применить для определения отношения
фокусных расстояний преломляющей поверхности:
Это весьма важное выражение мы получили здесь применительно к одной
преломляющей поверхности. Ниже будет_ показано, что формула (I. 143)
справедлива для любой оптической системы.
5 в. Н. Чурчловскяй 674
65
§ 17. Оптические инварианты
Пусть имеется функция, связывающая параметры (углы, отрезки, высоты) хода
луча в среде, предшествующей некоторой преломляющей поверхности. Если мы
заменим эти параметры аналогичными параметрами, относящимися к среде,
следующей за данной преломляющей поверхностью, то мы как бы совершим
переход через эту поверхность. Мы условимся называть инвариантом такую
функцию параметров хода луча, которая при переходе через преломляющую
поверхность не меняет своего численного значения. Математически инвариант
может быть представлен в виде совершенно симметричного уравнения, причем
стороны
Рис. I. 38
уравнения отличаются друг от друга только тем, что входящие в них
величины относятся к разным средам.
Примером инварианта может служить закон преломления:
п sin 0) = п' sin со'. (I. 144)
Формула Аббе (I. 138) - тоже инвариант. Величина г в равной мере
относится к обеим средам, разделяемым преломляющей поверхностью. Поэтому
присутствие величины г в левой н правой частях формулы Аббе ие нарушает
ее инвариантности.
Приведенные здесь инварианты сохраняют численное значение только при
