Теория оптических приборов - Чуриловский В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
законам солинейного сродства, справедливых для параксиальных лучен.
§ 104. Анастигматические преломляющие поверхности
Для того чтобы можно было применять инварианты Юнга к ие-плоским
преломляющим и отражающим поверхностям, нужно уметь находить радиусы rt и
га меридиональной и сагиттальной кривизны в точке падения луча иа
поверхность. Пусть уравнение поверхности задано в виде
' у2 = xf (*). (V. 305)
Эго общий вид уравнения меридиональной кривой, симметричной относительно
оси х (оптической оси), если начало координат совпадает с вершиной кривой
(рис. V. 40), при этом / {х) - произвольная функция абсциссы х.
533
Пусть POt - нормаль к кривой в точке Р. Так как центр 0S кривизны
поверхности в сагиттальной плоскости лежит на оси SOs, то по чертежу для
rs = POs находим
У
COST
(V.306)
где т - угол, образованный касательной в точке Р с осью. Как известно из
аналитической геометрии,
tgt =
dy
(V.307)
Поэтому найдем из выражения (V. 306)
'• = "['+{ъ)Т- (V-308)
Из аналитической геометрии известно также и выражение для радиуса rt =
POt кривизны в меридиональной плоскости:
ытт
dx8
(V. 309)
Знак минус введен в эту формулу, чтобы выполнялись правила знаков,
принятые в оптотехнике.
Сравнивая выражения (V. 308) и (V. 309), получаем
у dx *
Вследствие (V. 305) имеем
dy _ хГ (х) + f (х) dx 2у
534
(V.310)
(V. 311)
Поэтому из выражения (V. 308) следует
Г, = Y т М + W W + F W1*F • (V. 312)
Дифференцируя выражение (V. 311), найдем после некоторого упрощения
0 = i |2^V W г W - W' W - f wi2|. (V. 313)
Благодаря этому получим вместо выражения (V. 310)
г< = - 2xV (х) /" (х) - [х[' (х) - f (х)]" ' (V, 314)
В этих выражениях /' (я) и /" (я) - первая и вторая производные функции f
(*) по л;. Формулы (V. 312) и (V, 314) позволяют найти радиусы г$ и rt в
любой точке Р меридиональной кривой.
Обратимся теперь непосредственно к определению анастигматических точек.
Для этого в инвариантах Юнга (V. 272) и (V. 277) положим lf = ls = I и
потребуем, чтобы Таким обра-
зом, имеем
п' cos to' - rccos о) , п cos2 со " rt cos8 со' * T cos2 со' 1 п' cos o'
- гс сев со гс
(V. 315)
Из этих выражений видно, что поставленная задача имеет тривиальное
решение: I - V - 0, если точки А и А' совпадают и лежат в точке Р падения
главного луча на преломляющую поверхность. Менее тривиальное решение
можно получить, исключив V из выражений (V. 315). После некоторых
упрощающих преобразований получаем
til
¦ sin8
со' - (/г'cosw' - ricoso)) (- cos ы \ , (V.316)
\ Г1 Г8 /
Вычисляемый по этой формуле отрезок I определит положение передней
анастигматической точки. Сопряженная с ней задняя анастигматическая точка
найдется, если из выражений (V. 315) исключить I
п Т.,п sin2о) (rt'coso/-ncos(c)) (---------------CQS-). (V.317)
ГС * \ Гg /
По этой формуле вычисляется отрезок V вдоль главного луча от преломляющей
поверхности до задней астигматической точки. Таким образом, кроме
анастигматической пары точек / = Г - 0 на каждом главном луче всякой
преломляющей поверхности
535
имеется еще вторая пара анастигматических точек, для которых отрезки I и
V находятся по формулам (V. 316) и (V. 317). Вычитая (V. 316) из (V.
317), найдем простое выражение, связывающее отрезки t и V,
п' п л'cosю' - лCOS(0 ,,r QIO,
~F T = 7S • ( ' 18)
Если поверхность сферическая и r< = rs = г, выражения (V. 316) и (V. 317)
приводятся к виду
nl = п'1' -
п' COS (O' - Л COS (О '
^-----------. (V. 319)
- п f*nt; <п 4 '
Можно убедиться, что эти выражения определяют положение апла-натических
точек А и А' (рис. V. 32), не лежащих на оптической оси, как это показано
в конце § 101. Пользуясь чертежом (рис. V. 32), из треугольника РОА
найдем
-РА sin со = ОА sin у,
а из треугольника РА'О
-РА' sin о> = ОА' sin у.
Здесь у - общий внешний угол этих треугольников у вершины О;
РА = 1\ РА' = Г; ОА = г, О А' = ~ г.
Исключая из этих выражений угол у, получим
I' sin о)' О А' я8 <аоп\
/sin to О А пл' (V. 320)
Применяя закон преломления, легко получить отсюда выражение п'1' = nl,
совпадающеес выведенной здесь формулой (V. 319). Следовательно, как и
нужно было ожидать, анастигматические точки сферической поверхности
совпадают с апланатическими точками.
Пусть меридиональная кривая преломляющей поверхности - коническое сечение
с уравнением
у2 - х [2г0 - (1 - о) х]. (V. 321)
В таком случае имеем
/ (*) = 2г0 - (1 + а) х;
(' (х) = - (1 + а);
Г М = 0.
Вследствие этого найдем для радиусов rs и rt сагиттальной и
меридиональной кривизны по формулам (V. 312) и (V. 314)
rs=Ur0 - axf + ax^2; г!
(V. 322)
В этих формулах г0 - радиус кривизны в вершине преломляющей поверхности,
а о - так называемая деформация. Через полуоси а (вдоль оптической оси) и
Ь (поперек оптической оси) величины г0 и а выражаются так:
^ ь*
Г0= ±-;
(V. 323)
Знак плюс берется в случае эллипса, знак минус - в случае гиперболы.
Численное значение деформации а определяет вид и характер меридиональной
кривой поверхности:
-оо < с < -2 гипербола а < Ь\
