Теория оптических приборов - Чуриловский В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
поверхности, угол а', образованный лучом РА' с осью, и угол у,
образованный нормалью РО с осью. При повороте луча все этн углы получают
бесконечно малые приращения: da = L PAPi, da' = РА'Рц dy = POP и а также
dco и dco', которых иет на чертеже.
При выводе меридионального инварианта Юнга исходной формулой послужит
закон преломления
п' sin о)' = rt sin со. (V. 262)
Дифференцируя выражение (V. 262) для перехода к бесконечно близкому лучу,
иаходим
п' cos со' dco' = ti cos со dco. (V. 263)
Из треугольника, ограниченного прямыми РА, РО и осью, получаем
со = а - у. (V. 264)
Аналогично нз треугольника, образованного лучами РА\ РО и осью, находим
со' = а' - у. (V. 265)
Дифференцируя формулы (V. 264) и (V. 265), получим выражения:
dco = da - dy; )
<Ko'=da'-Jy.\ <V'266)
Далее из фигуры POPj найдем:
rfY=*- (V. 267)
Несколько сложнее определяются углы da и da'. Спроектируем отрезок РРг на
направление, перпендикулярное к лучу РА. Длина ds' этой проекции
определяется двояким образом:
ds' -- ds cos со - lt da. (V. 268)
Отсюда получим
da =*y~ cos со. (V.269)
Аналогично находится угол da'
da' cos to'. (V. 270)
lt
На основании выражений получим из формул (V. 266),
(V. 267), (V. 269) н (V. 270)
^--W I
h п ) \
cost)'__L \ds I (V. 271)
(, r'> : 1
. Подставив значения dm и dm', определяемые формулами (V. 271), в
продифференцированный закон преломления, получим после сокращения на ds
= ncosa("^--L). (V. 272)
Это и есть меридиональный инвариант Юнга, связывающий отрезки lt и lt
вдоль главного луча н позволяющий поэтому находить по заданному положению
предмета положение меридионального изображения.
Обратимся теперь к выводу сагиттального инварианта Юига. Пусть главный
луч РА (рис. V. 37) бесконечно узкого пучка преломляется у точки Р
преломляющей поверхности PS, имеющей любую форму, симметричную
относительно осн SO. Эта поверхность разделяет две среды с показателями
преломления п и п'. Лежащие в сагиттальной плоскости (перпендикулярной к
плоскости чертежа и проходящей через луч РА) лучи бесконечно узкого пучка
пересекаются в точке А, служащей поэтому предметной точкой для
сагиттальных лучей. Пусть РО - нормаль к поверхности в точке Р. Как
известно из теории поверхностей вращения, центр кривизны поверхности в
точке Р в сагиттальном сеченин лежит в точке О пересечения нормали РО с
осью поверхности. На преломленном главном луч§ РА' находится точка А'
сагиттального изображения, в которой встречаются сагиттальные лучи
бесконечно узкого пучка лучей. Точка А' находится простым геометрическим
построеинем на осиоваиин положения, доказанного в § 32: точки
сагиттального предмета А, изображения А' и центр О сагиттальной кривизны
преломляющей поверхности лежат на одной прямой. Поэтому точка А'
находится как точка пересечения преломленного луча РА' с прямой,
проведенной через точки А н О.
Введем следующие обозначения для отрезков: отрезки вдоль главного луча от
поверхности до сагиттального предмета н изображения РА = 15 н РА' =
радиус сагиттальной кривизны поверхности РО = rs. Обозначения для углов:
угол падения
п' cos о' /
527
о) = L OPA и угол преломления (c)' = LJOPA'. Кроме того, на чертеже введен
угол Р, являющийся внешним углом треугольника АРО у вершины О (а также и
треугольника А'Ри),
Исходной формулой при выводе сагиттального инварианта послужит закон
преломления (V. 262). Пользуясь известным свойством внешнего угла р
треугольника АРО, найдем для длины перпендикуляра, опущенного из точки Р
на линию АО, три выражения
Взяв первые две части этого продленного равенства и преобразуя синус
разности углов р н со, получим после несложных
Подставляя значения sin (c) и sin (c)' из выражений (V. 2?5) н (V. 276) в
закон преломления (V. 262), найдем после сокращения на -г, tg р
окончательную формулу
Это и есть сагиттальный инвариант Юнга, связывающий отрезки ls н /8 и
благодаря этому позволяющий по заданному положению точки предмета А
находить положение сагиттального изображения А'.
В частном случае, если углы w и (c)' становятся равными нулю, оба
инварианта упрощаются
rs sin р = ts sin (р - (c)) = l's sin (p - (c)). (V. 273)
преобразований
sin w = (ls cos w - r,) tg p, (V. 274)
n
а отсюда находим
(V.275)
Применив теперь первую и третью части равенства (V. 273), получим прн
помощи аналогичных преобразований выражение
Рис. V. 37
(V. 277)
Следует заметить, что радиусы rt н га могут быть ие равны друг другу, а
потому и в этом случае поверхность не свободна от астигматизма. При
нормальном падении главного луча (со = са'. = 0) поверхность свободна от
астигматизма в двух случаях: во-первых, если она сферическая н потому rf
= rs - г, т. е. радиусу сферы, и, во-вторых, если главный луч совпадает с
оптической осью при поверхности любой формы, при этом rt - rs = г0, т. е.
радиусу кривизны в вершине поверхности. В последнем случае оба инварианта
Юнга переходят в инвариант Аббе
(V. 279)
Вероятно, поэтому инварианты Юнга иногда называют сагиттальным и
