Устойчивость движения - Четаев Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
вещественны, а значения переменной и лежат на замкнутом интервале между
наименьшими корнями полинома / (и).
Найдем условия, при которых корни полинома / (и) будут больше 1 - б, где
б - произвольно заданная малая положительная величина.
Рассмотрим полином
F (z) = -/ (1 - б - z) == az3 + ajz2 + a2z + a3.
Его корни будут все отрицательными, если корни полинома / (и) больше 1 -
б; и наоборот, если все корни полинома F (z) отрицательны, то все корни
полинома / (и) будут больше 1 - 6.
Условия отрицательности всех корней полинома F (z) получаются согласно
теореме Гурвица в виде неравенств
at 0, ata2 - аа3 ^>0, а3^> 0.
Для практически наиболее интересного случая 0О =0, 03 0;
фо = 0, или Р - Ьг0 = 0, 0q2 = а - а неравенства эти будут
Четаев Н. Г. О достаточных условиях устойчивости вращательного движения
снаряда // Прнкл. мат. и механ,- 1943.- Т. 7,- С. 81-96.
ТЕОРЕМА ГУРВИЦА 71
иметь следующий явный вид, если воспользоваться невыписан-ными
выражениями для коэффициентов а,, а2, а3:
б2го - 2а -}- 0q2 -)- Заб О,
-2 (feV? - 2а + 0о2) 0о2 + б [2 (б2г2 - 2а + 0^2)2 - 4а0^2] +
+ б28а (б2г2 - 2а + 0^2) + 8а2б3 > О, -20i2 + б (б2г2 - 2а + (c)i2) + аб2 >
0.
Нас интересует наименьшее значение б, для которого имеют место эти три
неравенства; такое б будет наинизшей верхней границей для функции 1 - и.
Если запас устойчивости .? = б2г3 - - 2а |> 0 принять удовлетворяющим
неравенству
(s + 0о2)2 - 4а0о2 ^ 0,
то при
20"2
б = .
"о
*+V
все три неравенства будут удовлетворены. А следовательно, при таком
запасе устойчивости они по непрерывности останутся удовлетворенными и для
несколько меньших значений б. Поэтому при указанном значении запаса
устойчивости s
20'2
1-ц< °
5 +
Пример. Рассмотрим случай, когда в уравнениях возмущённого движения
dx
= Рл*1 "Ь • • • Psn^n (s - I,. • • •, а)
коэффициенты pST являются непрерывными, ограниченными функциями
вещественного параметра а. Различным значениям а могут отвечать различные
невозмущенные движения. Последовательности изучаемых невозмущенных
движений (я, = 0. . . ., хп = 0) отвечает в пространстве переменных (а,
х15 . . ., хп) ось а. Те точки последней, где характеристическое
уравнение
А (Я) = И psr - 6srX " = (-1ПГ + а,Г-1 -f ... (- an) == 0
имеет все корни с отрицательными вещественными частями, отвечают
асимптотически устойчивым невозмущенным движениям; при этом все
определители Гурвица должны быть положительными:
А* = % > 0, Д2 = | ;а|>0,...,Дп = аА-,>0.
Определители As будут некоторыми функциями а. Если невозмущенное
движение, отвечающее а - а0, асимптотически устой-
72
ГЛ. 4. О ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
чиво, то при дальнейшем изменении параметра а в каком-либо направлении,
начиная со значения а0, устойчивость может теряться либо когда, по
меньшей мере, один из корней характеристического уравнения становится
равным нулю, либо когда два корня становятся чисто мнимыми; в первом
случае уничтожается коэффициент ап, во втором уничтожается An_x. Первое
утверждение не требует доказательств. Для доказательства второго разобьем
характеристический полином на сумму членов с четными и нечетными
степенями
(-1 )пА (Я') = (Г + агЯ"~2 + ...) + К*"'1 + а3Г-3 +...).
Сумма числа членов первого из взятых в круглые скобки выражений (пусть р
+ 1) и числа слагаемых во второй скобке (пусть v -f- 1) равняется числу п
••• 1 всех членов полинома (-1)" А (Я). Отсюда
I* 4* v = я - 1.
Рассмотрим полиномы Ф (z) = zv- 4- aaz**_1 4- . . ., ф (z) - atzv 4~
a3zv_1 4- . . .
Если полином А (Я) имеет чисто мнимый корень Я = ip, то полиномы ф (z) и
ф (z) будут иметь по построению, по меньшей мере, один совместный корень
и именно z = -Р2. Но полиномы ф и ф имеют общие корни тогда и только
тогда, когда уничтожается их результант
R = ±A"-i-
Пусть на оси а точке Р, где а = а0, отвечает асимптотически устойчивое
невозмущенное движение и, следовательно, все А* положительны. При
дальнейшем увеличении а определители А, будут как-то изменяться; при этом
первыми неизбежно будут уничтожаться ап или An-j. Если при первом
нарушении неравенств Гурвица уничтожается ап, то для отвечающей точки М
уравнения возмущенного движения будут иметь в силу канонического вида
уравнений (12), по меньшей мере, один линейный интеграл или новую
последовательность "равновесий", проходящую через М, так как А (Я) имеет
при этом, по меньшей мере, один равный нулю корень. Если же при первом
нарушении условий Гурвица уничтожается A"_i, то в области отвечающей
точки С будем иметь однопараметрическую (по меньшей мере)
последовательность периодических движений, отвечающую квадратичному
интегралу уравнений возмущенного движения, неизбежному в силу
канонического вида уравнений (12) при паре мнимых корней А (Я) *).
1} Когда уравнения возмущенного движения не ограничиваются линейными
членами, вопросом о существовании периодических движений занимался П. А.
Кузьмин (Кузьмин П. А. Замечание о смене устойчивости установившихся
