Устойчивость движения - Четаев Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Для тех из нормальных координат, которым отвечают равные нулю постоянные
Av, дифференциальные уравнения движения будут сохранять свой прежний вид
и, следовательно, новая связь не оказывает влияния на законы изменения
таких переменных. Затронутыми наложением новой связи оказываются лишь
переменные, которые отвечают отличным от нуля постоянным Ау.
Чтобы найти характеристические показатели для переменных Ху. стесненных
связью, положим
xv = Вув^~л, р = Mev^ и подставим эти значения как в последние уравнения
By (Xv - А,) 4- АуМ 1=1 0, так и в уравнение связи
2 Лбу = 0-
V
ВЛИЯНИЕ ДИССИПАТИВНЫХ сил
85
Исключая Bv из последнего соотношения, имеем
V
В это выражение войдут лишь те ^Vl, .... ^Vs из кх, которым отвечают
отличные от нуля постоянные Рассматривая знаки функции / (к) на интервале
(kyr kyi+l) при значениях к, близких к концам интервала (корни ^Vj
занумерованы в порядке возрастающих значений), замечаем, что / (Я) при
изменении к на интервале (kVi, kyi+l) будет переходить от положительных
значений к отрицательным и, следовательно, она будет иметь на этом
интервале по крайней мере один корень. Отсюда выводим, что
характеристические показатели к для системы, стесненной новой связью,
будут перемежаться с корнями kv" . . ., A,v . Для переменных Ху, не
стесненных связью, числа к будут совпадать с отвечающими значениями kv.
Если s = 1, что случится, когда в уравнении связи отлична от нуля всего
одна постоянная ylVl, то для к будут возможны все значения Л-v, кроме
ку,. Значение ^Vl будет как бы выпадать при этом.
Следовательно, если начальное положение равновесия было устойчивым (все
ку ^>0), то перемежающиеся с ку значения к будут также все положительны,
тем самым при наложении новой связи будет сохраняться устойчивость
положения равновесия.
Если равновесие имело степень неустойчивости больше 1 (число
неположительных ку), то неустойчивость равновесия сохранится и при
наложении одной новой связи. Если же число неположительных ку было равно
1, то наложением одной подходящей новой связи равновесие системы возможно
упрочнить.
Влияние диссипативных сил
39. Пусть / представляет определенно-положительную вещественную
(симметричную) квадратичную форму от скоростей Ху с постоянными
коэффициентами сар = срк:
2/ = Са#ха.Х§-
Обобщенные силы Ху, составляющие которых определяются соотношениями
лорд Кельвин предложил называть диссипативными. К таким силам принадлежат
обычные силы трения, действующие на точки
8t> гл. 5. ДЕЙСТВИЕ ВОЗМУЩАЮЩИХ СИЛ НА РАВНОВЕСИЕ
материальной системы в направлении, противоположном их скорости, и
пропорциональные величине последней. Функцию / называют функцией
рассеяния или диссипативной функцией Релея. Если эта функция Релея /
содержит производные всех нормальных координат, то диссипацию называют
полной; в противном случае - частичной.
Допустим, что на материальную систему, кроме рассматриваемых
потенциальных сил, действуют диссипативные силы с функцией Релея /.
Уравнения малых движений такой материальной системы вблизи ее положения
равновесия будут
dx., ¦¦ dx" r)f
Влияние диссипативных сил на устойчивость равновесия изучил лорд Кельвин;
он доказал следующие теоремы. Диссипативные силы не нарушают
устойчивости.
В самом деле, если положение равновесия устойчиво под действием одних
потенциальных сил, то все Xv положительны. Полная энергия системы
V V
будет определенно-положительной квадратичной формой скоростей х'ч и
координат xv. Ее полная производная по времени в силу уравнений (21)
Н' = -2/.
представляет постоянно-отрицательную функцию. Согласно теореме Ляпунова
об устойчивости, отсюда выводим, что при дополнительном присоединении
диссипативных сил положение равновесия остается устойчивым.
Если равновесие устойчиво при потенциальных силах, то оно становится
асимптотически устойчивым при добавлении диссипативных сил с полной
диссипацией.
Действительно, рассмотрим функцию
W =H-r^xvxv.
V
Постоянную р всегда возможно выбрать так, чтобы функция W была
определенно-положительной. Дискриминант W имеет вид
II |АУ1 I ИРМ I IlllPMl I ityWr
Если все Xj суть положительные числа, то всегда возможно выбрать Р столь
малым, чтобы все главные диагональные миноры этого дискриминанта были
положительны.
ВЛИЯНИЕ ДИССИПАТИВНЫХ сил
87
Полная производная по времени от функции W в силу уравнений (21) есть
W' = - [S (Сц - 6j;P) XiXj + р S Кх\ + Р S cijxixi\ ¦
ij i ij
Дискриминант стоящей в квадратных скобках формы
hi - I'1 1
lc.. I 2 t}
при достаточно малом положительном р, когда при определении знака главных
диагональных миноров возможно пренебрегать членами с высшими степенями Р
по сравнению с членами с низшей степенью р, будет иметь положительными
все свои главные диагональные миноры, ибо диссипативная функция Релея /
является определенно-положительной.
Итак, при достаточно малом положительном р функция W будет определенно-
положительна; как не зависящая явно от t, она допускает бесконечно малый
