Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Четаев Н.Г. -> "Устойчивость движения " -> 25

Устойчивость движения - Четаев Н.Г.

Четаев Н.Г. Устойчивость движения — М.: Наука, 1965. — 176 c.
Скачать (прямая ссылка): ustoychivostdvijeniya1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 63 >> Следующая

либо значения параметра р на интервале (0, 1) по крайней мере один из
корней полинома Fц перейдет через границу области Ф изнутри наружу. Но
при указанных значениях параметра р полином Fц не имеет корней на левой
по-
з*
68
ГЛ. 4. О ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
луокружности достаточно большого радиуса R. так как, полагая на ней z -
Reie, имеем:
F" = (1 + р) R^eHri+VO + . . .
Поэтому, если некоторые корни Fц покидают область Ф. то это может
произойти лишь при переходе корня через мнимую ось. Но и этого не может
быть при О р<С 1. Действительно, разлагая полином / (z) на линейные
множители, отвечающие его корням ак, а полином /* (z) - на линейные
множители, отвечающие корням а* = -ак, непосредственно убеждаемся, что на
оси у (если полином / (z) есть гурвицев)
/ (*) I PIP*' ¦ • Р" _ ,
/*(*> I - р-р-. . . р* •
где
р,. = | z - а" |, pf = | z сс* | = | z + а"|,
ибо на оси у (z = iy) имеем рк. = р$.
При наших условиях с>0и О < р 1 полином Fp не может
быть нулем на оси у (z - iy), так как в таком случае было бы
\ = I (г + с) / (z) | _ I 2+С I уф (г) I I рг
или
с2 + (1 - р2) t = О,
что невозможно.
Итак, если / (г) представляет гурвицев полином, то гурвицевым будет и
полином
F, = (z + с) / (z) + zf* (z) (с > 0).
Обратный процесс показывает, как для гурвицева полинома F( степени п -f-
1 строится гурвицев полином / (z) степени п. В самом деле, рассмотрим
полином
Фц = (z - 2а,) / (z) - pz/* (z) (а, > 0).
где параметр р изменяется от нуля до 1. Если / (z) представляет гурвицев
полином, то полином Ф0 = (z - 2а,) / (z) будет иметь п корней в левой
полуплоскости переменного z и один корень z = 2а, >0 в правой. При
оговоренном интервале изменения р ни один из полиномов Фц не может иметь
чисто мнимых корней (доказывается точно так же, как это доказывалось для
полинома F^). При р -*¦ 1 полином
Фц = (1 - р) zn+1 - (1 - р) a,zn + [a, (1 - р) - 2а\) z""1 + . . . будет
иметь два вещественных и удаляющихся в бесконечность корня вида + a, "j/"
(1 +.. .), где невыписанные члены при
ТЕОРЕМА ГУРВИЦА
69
р, стремящемся к единице, стремятся к нулю. Эти корни разных знаков;
поэтому полином (п - 1)-й степени
Ф, = (z - 2а,) / (г) - г/* (г)
все свои корни имеет в левой полуплоскости; и стало быть, если / (г)
представляет гурвицев полином, то гурвицевым будет и полином Ф,.
Теперь возможно перейти к изложению теоремы Гурвица. Из коэффициентов
полинома / (г) составим табличку
а, 1 0 0 0 0
а, 1: 9] 1 0 0
"5 "" аъ аг °i 1
в которой все ат = 0, если т п. На ее главной диагонали стоят
последовательно а,, а2, а3, ... Главные диагональные миноры этой таблички
обозначим через
1
Д, - av Д2 - jд2| ' ¦ • ап^п-г
Теорема Гурвица. Необходимым и достаточным условием для того, чтобы
полином / (г) имел все корни с отрицательными вещественными частями,
являются неравенства
А, > 0, Д2 > 0 Дп > 0.
Доказательство. Пусть с - 2а > 0. Тогда
F1 = 224rz""-r,
где
2АТ = tl + (-l)r] ar -f 2aaT_v Обозначим через Av определители Гурвица
для полинома / (z),
а через D%, определители Гурвица для полинома
Т*1'
Имеем
Z)v =
а 1 0 0
аа% аа% а2 а 1
flfl| йй% -j- 64 Ой% йй\ flg
Вынесем из нечетных колонок множитель а, после чего каждую эту колонку
вычтем из четной на единицу большего номера; вынося множитель а и из
четных колонок, будем иметь
10 0.
а2 а, 1 "з °2 •
Dv = av
= avA,
v-l •
Необходимым и достаточным условием того, чтобы полином Fi был бы
гурвицевым, является условие, что полином / (г) является гурвицевым.
Допустим теперь, что критерий Гурвица справедлив
70
ГЛ. 4. О ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
для полиномов степени п. Если Av > 0 (v = 1, . . п), то
полином / (z) - гурвицев и, следовательно, полином Ft будет гурвицевым, и
для него необходимо будут существовать условия
/>г> 0 (г = 1, ...," + 1).
Если DT > 0 (г = 1, . . ., п + 1), то отсюда As > 0 (s = 1, . . . . . п)
и, значит, полином / (г) будет гурвицевым согласно гипотезе о
справедливости критерия Гурвица для полиномов степени п. Но условие, что
/ (г) - гурвицев полином, является достаточным для того, чтобы гурвицевым
был и полином F{ (г). Стало быть, если критерий Гурвица справедлив для
полиномов степени п, то он будет справедлив (Dt = а 0) и полиномов
степени п + 1, ибо каждый гурвицев полином степени п -f- 1 можно
построить из некоторого гурвицева полинома степени п, как полином Ft
строился из / (г). Для полиномов первой, второй степени критерий Гурвица,
очевидно, справедлив; метод математической индукции дает, что он будет
справедлив всегда.
Пример1). Вопрос об устойчивости вертикального вращения тяжелого твердого
тела с одной неподвижной точкой в случае Лагранжа по отношению к углу
нутации 0 приводится к изучению дифференциального уравнения для и - cos 0
(4т)2 = (" - аи)(1 - и2) - ф - Ъг0и)* - /(и),
в котором а, р, а, Ъ суть некоторые постоянные, причем а и Ъ
положительны; г0 - проекция на ось z начальной угловой скорости вращения
твердого тела. Для механической задачи все корни полинома / (и)
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 63 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed