Устойчивость движения - Четаев Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
сопряженным формам zi1', zi*\ z22).
32 [17]. Частные решения уравнений п. 24 или легко получающиеся после их
подстановки в уравнения (11) решения канонических уравнений (12)
zjS) - Ц>{ре%г( (ф)3) (t) - полиномы)
приводят к непосредственным выводам об устойчивости в первом приближении.
Если среди корней Я, = а., 4 ijJs характеристического уравнения А (Я) = 0
имеется хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то
невозмущенное движение (xt = О, ... . . .,х"=0) неустойчиво в первом
приближении. Если все эти корни имеют отрицательные вещественные части,
то невозмущенное движение устойчиво в первом приближении. Если часть
корней имеет вещественные части равными нулю при прочих корнях с
отрицательными вещественными частями, то невозмущенное движение будет
устойчивым или неустойчивым в первом приближении, смотря по тому, будут
ли все элементарные делители, отвечающие нулевым и чисто мнимым корням
определителя А (X), простыми (с показателями е'Ь не превосходящими 1) или
среди них найдется хотя бы один не простой (с показателем е\, большим,
нежели 1).
3 Н. Г, Четаев
66
ГЛ. 4. О ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
Для упражнения все это можно доказать также прямым методом, рассматривая
функцию
v = 2 ((r)s - <0 [zis)zi8) + (as - e)248)4s)+ • • • т (as -
e)2(n""1)z^z?>],
s s 6
где e - некоторая отличная от а, вещественная постоянная. Полная
производная по t от этой функции V в силу канонических уравнений (12)
есть
V - 2eF + S К- е)2 [2г^ + 2 (о, - е)*4,)4') + •••¦+¦
+ 2 (", - - (а, - е) (z?z? + ^*>) - ... -
- (а, - еГ'Г3 (ZW + 5W_lZW)].
Дискриминант квадратичной формы Эрмита, стоящей в квадратных скобках под
знаком последней суммы, есть
2 -1 ... О
- 1 2 ... О
t
О 0 ... 2
если за переменные для простоты принять (ae - e)k z?+i-
Главные диагональные миноры Дг этого дискриминанта все положительны *),
поэтому стоящие в квадратных скобках формы будут определенно-
положительными каждая относительно своих переменных 4*\ • • •* 4,*\ а вся
сумма будет тем самым определенно-положительной относительно переменных
хг, . . ., хп.
Если среди корней ks = as + г(58 характеристического уравнения А (к) = 0
имеется хотя бы один, положим корень с положительной вещественной частью
(а4 0), то, выбирая е рав-
ным некоторому положительному числу, не превышающему наименьшей
положительной вещественной части корней, замечаем, что функция V при
таком выборе е удовлетворяет всем условиям второй теоремы Ляпунова о
неустойчивости, так как при выборе переменных . . ., хп согласно условиям
4'8) = 0 (s 1) значения функции V будут положительными. Невозмущенное
движение будет поэтому неустойчивым.
Если все корни ks - as + имеют отрицательные вещественные части as 0, то,
выбирая е согласно неравенству as е 0, замечаем, что функция V будет
определенно-отрицательной, а ее производная определенно-положительной.
Согласно теореме Ляпунова невозмущенное движение будет устойчивым, а
близкие возмущенные движения будут стремиться к нему асимптотически.
*) Разложение Дг, если г > 3, по элементам последней колонки приводит к
соотношению Дг - = Дг_х - Дг_2, откуда после вычисления
А* = 2, Д2 = 3 получается Аг = г + 1.
ТЕОРЕМА ГУРВИЦА
67
Известный произвол в выборе е указывает, что при построении функции V,
разрешающей вопросы об устойчивости или неустойчивости в первом
приближении, точное знание корней Я, и канонических переменных z(jS) не
является необходимым. Практическое использование этого обстоятельства
будет показано ниже.
Теорема Гурвица
33. Во многих задачах, когда требуется найти лишь условия, которым должны
удовлетворять коэффициенты pTS, чтобы обеспечить устойчивость или
неустойчивость невозмущенного движения в первом приближении, нет смысла
вычислять корни характеристического уравнения А (к) = 0; достаточно знать
лишь знаки их вещественных частей.
Необходимые и достаточные условия отрицательности вещественных частей
всех корней полинома с вещественными коэффициентами были найдены впервые
Раусом. Более известны условия, предложенные Гурвицем.
Полином
/ (z) = zn + a1zn_1 + . . . + ап
с вещественными коэффициентами а назовем гурвицевым, если все его корни
имеют отрицательные вещественные части. В плоскости комплексного
переменного z - х -f iy все корни гурвицева полинома лежат внутри области
Ф, ограниченной мнимой осью у и левой полуокружностью достаточно большого
радиуса R с центром в начале координат.
Пусть
/* (z) = z" - а&п~1 + . . . + (-1)" = (_1)"/(_*).
Рассмотрим полином степени п 4- 1
Fо = (z + с) f (z),
где с есть некоторая положительная постоянная; если полином /(z) является
гурвицевым, то таким же будет, очевидно, и полином F0.
Полином (п -f- 1)-й степени
= (z + с) / (z) + pz/* (z)
при непрерывном изменении параметра р от 0 до 1 изменяется от F0 до
полинома Ft = (z + с) f (z) + z/* (z).
Если полином / (z) есть гурвицев, то полином F^ при непрерывном изменении
параметра р от 0 до 1 может перестать быть гурвицевым, если для какого-
