Устойчивость движения - Четаев Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
переходе от г ir г - 1 кратность корня Я = Я0 повышалась для этих миноров
точно на величину
^п-г+Х' *
и далее для каждого из значений г = 1, . . к определить пеп_г+1 полиномов
(р - 1, . . епНг+1 - 1; s = г, . . п); все A1Js при s < г поло-
жить равными нулю. По этим полиномам, положив в них Я = Я0, определить
числа А и составить порождающее решение с наивысшей степенью вековых
членов т - en_r+1 - 1 группы (г)
Xi = (Ali 7ГГ + • • • + ^m+1, *) е" = ^о)-Для определения элементарных
делителей матрицы
-Я 1 0 0
-1 -2-Я 0 0
0 0 -я 1
р Р -1 1 ьз 1
прибавим к первой колонке вторую, умноженную на Я, и переместим вторую
колонку на место первой 1 ООО
-2-Я - (Я -f i)" О О
О 0 - Я 1
(X р (Я -f-1) -1 -2-Я
Все элементы первой колонки, кроме первого, элементарными операциями со
строчками можно сделать равными нулю. Предполагая это выполненным,
умноженную на Я + 2 третью строчку прибавим к' четвертой строчке, после
чего переменим местами вторую и третью строчки, а четвертую колонку
передвинем на место второй, оттеснив третью колонку на место четвертой, а
вторую на место третьей:
1 0 0 0
0 1 0 -я
0 0 -(Я + X)* 0
0 0 р(Я + 1) -(Я + 1)*
60
ГЛ. 4. О ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
Все элементы второй строчки, кроме второго, делаем нулями. В
иеканонизированной части матрицы A -j- 1 является общим множителем всех
ее элементов. Предполагая р отличным от нуля, четвертую строчку,
умноженную на А + 1/уь, прибавим к третьей и поменяем их местами:
10 0 О j
0 10 0
0 О А + 1 о
оо о (М-i)3 I
Следовательно, элементарными делителями А (А) будут
(А + 1), (к + I)3-
Характеристическое уравнение А (А) = 0 имеет один корень к = -1 четвертой
кратности , которому, согласно структуре элементарных делителей, в силу
ранее изложенного, будут отвечать две группы частных решений: одна с
одним, а другая с тремя частными решениями.
Разумеется, в практических вычислениях, как только выяснен множитель Еа,
матрицу надо сразу сокращать до ее неканонизи-рованной части.
Определим теперь частные решения. В соответствии с выясненной
канонической формой матрицы А (к) заключаем, что все ее миноры первого
порядка будут уничтожаться при к - -1, а среди миноров второго порядка
найдется отличный от нуля при к = -1. Среди миноров А (к) выделим цепочку
общих наибольших делителей (правило 2°), например
^14.38 = 1, AltS = -р (A-f 1).
Группу частных решений г = 2, отвечающую элементарному делителю А + 1,
вычисляем согласно 2°. Числа Alj суть
Ац - - 1, Ai2 = 1, А- 0, Ац - 0; отсюда группа г = 2 состоит из частного
решения
х - -е~1, х' = е~г, у = 0, у' = 0.
Чтобы определить группу частных решений г = 1, отвечаю* щую элементарному
делителю (А + I)3, следуем правилу 2°; полиномы Аj для этой группы имеют
вид
А и - -(А -(- 2) (А -(- 1), А13 = A -j- 1,
А13 - р, Ац - рА.
Отсюда дифференцированием получаем
А21 ^ 2А 3, А2з - 1, А2з = 0, А= р,
Аз! = -1, А 32 = 0, А зз == 0, А 31 = 0.
Подставляя в эти полиномы А = - 1, находим постоянные А kS
КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД ПЕРВОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
61
и составляем производящее решение группы:
х = (-t - 1) е~!, х = te
у = -у'
Остальные два производных частных решения группы г - 1 получим путем
дифференцирования полиномиальных множителей в производящем решении
х = -е~\ х - е~(, у - -pte"1, у' - (р? - р) е~',
х =-• 0, х' = 0, у - -ре~\ у' = ре~а).
Канонический вид первого приближения
30 [181. Для изучаемой системы дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами
dxs
- Ра\Х1 "+¦••• 4* Рапхп будем искать п независимых интегралов вида U = УЛ
+ . . . + упхп,
где у; суть некоторые функции t. Уравнения, каким удовлетворяют функции
уг, получаются дифференцированием
Так как это тождество должно иметь место при произвольных начальных
значениях переменных xh а за начальный момент мы вольны принять всякий, в
том числе и рассматриваемый, то
Эта система дифференциальных уравнений называется присоединенной к
исходной системе. Ее характеристическое уравнение имеет вид
*) Необходимо заметить, что если предложенный пример разрешать нередко
применяемым методом огульного исключения переменных, приводя
систему к уравнению Д у = 0, в котором степени оператора обозначают
порядок производных, то неизбежно придем к ошибочному результату о
существовании частного решения с вековым членом t3, которого в задаче на
самом деле нет.
"у •
Т PiiPx 4~ • • • 4" PniVn
D (р) = II Рл + бяР II = 0-
d
62
ГЛ 4. О ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
Словом, характеристический определитель присоединенной системы получается
из исходного А (Я) заменой А, на - ц и заменой строчек на колонки, а
колонок на строчки. Поэтому характеристические корни присоединенной
системы p.s отличаются лишь знаком от характеристических корней Ks
исходной системы.
Пусть
(ц + Ks)n> (S = 1, . . ., к)
представляют все элементарные делители характеристической матрицы D (р)
для присоединенной системы в предположении, что каждый корень повторяется
столько раз, сколько соответствует ему групп решений. Степень ns
