Устойчивость движения - Четаев Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
миноров Д2 отвечающей матрицы Гурвица. После некоторых вычислений при
этом можно установить, что Ах и Д4 всегда положительны, условие Д3 0
эквивалентно неравенству Z < 0, при котором Д2 положительно. Другими
словами, все вещественные части оставшихся четырёх корней будут
отрицательными, если I < 0.
Результат этот можно4 получить много проще. Определитель четвёртого
порядка, корни которого нас интересуют, является характеристическим для
первых четырех уравнений в вариациях. Если Z<0, то в рассматриваемом
случае (и?0>0, а0> 0) функция
будет определенно-положительной относительно а, р, g, ц. Ее производная
по t является отрицательной:
-Gq - ПьХ -mr0
aQl -AX (A-C)r0
0 (C - A) r" -AX
Отсюда непосредственно вытекают два условия
?*<о и д(Z~аш)-<о
or ^ dw ^
2V = т (а2 + р2) - ^ A (g2 + тf)
/
V' = -а0 (а2 + Р2)-
ТЕОРЕМА ГУРВИЦА
79
Следовательно, если а или р отличны от нуля, то значения функции V при
изменении переменных согласно уравнениям в вариациях будут уменьшаться;
если в некоторый момент а = = 0, р = 0, то в силу первых уравнений по
крайней мере в следующий достаточно малый промежуток времени а и Р будут
отличны от нуля,, если нулями не были ?, ц; словом, V будет уменьшаться
при I < 0, сколь бы малые значения она ни имела. А это и доказывает
интересующий нас результат.
Пример. Вопрос о выборе параметров устойчивой механической системы имеет
прикладное значение.
Чтобы иметь сравнимые между собой данные, ограничимся рассмотрением
различных состояний одной и той же механической системы, описываемой
определенными переменными.
Пусть в уравнениях возмущенных движений dx
= PsA -I' • • • Г Psa^n (S = 1, .... И) (14)
коэффициенты psr постоянны и зависят от некоторых параметров. Будем
предполагать, что при рассматриваемых значениях параметров невозмущенное
движение асимптотически устойчиво.
Определенно-положительную функцию Ляпунова V определим при этом
уравнением
У, JTs (Р<А -г •••-:- Р*пхп) = - {х\ + • • • 4- xl). (15)
Пусть
2V = 2 asrxsxr (ars = aS!.).
Экстремум функции V на сфере х\ + . . . -{- х\ = с (с - положительная
постоянная) определяется по методу Лагранжа рассмотрением
V - X (х\ -f- Хп - с).
Отсюда
S(asr - 2^баг) Хг = 0 (s = l,..., п): (16)
следовательно, множитель Лагранжа X должен быть корнем векового уравнения
|| asr - 2X8sr || = 0.
Так как V представляет определенно-положительную квадратичную форму, то
все корни Xs этого уравнения будут положительными; пусть 0 < ^ Хп.
Умножая равенства (16) соответственно на х$ и складывая, будем иметь, что
экстремальные значения V* на сфере х\ + . . . . . . + Хп = с
удовлетворяют равенствам
V* = Xc
80
I-л. 4. о ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
и, следовательно.
К (4 4- . . . + х2п) < V < (а? -г- • • • + 4). (17)
Отсюда в силу уравнений (15) и уравнений возмущенных движений (14) имеем
. . т. . . dt
ИЛИ
_ J_ _ _L
1> X'<1'<1V Ч (18)
Мы должны отсюда заключить, что верхняя граница возможных значений V
будет меньше для той системы, для которой К" есть минимум, если начальные
значения одинаковы. Если же начальные значения xs лежат на сфере х\ + . .
. 4- х" - А, то из неравенства (17) найдем
пхА 4> 1 (c) 4^ л пА •
Вследствие неравенства (18) отсюда вытекает:
t _ j_
Акхе J" <(У<1Лл"е Ч Точки (#1. . • л"), в которых функция Ляпунова
имеет значе-
ние У, согласно (17) находятся внутри или на сфере х\ 4- . . .
... 4- Хп = е, где
"
е = - <¦ У" - р х"'
Xj ^ 0 X.J '
и, следовательно, одно значение У0 в фиксированной точке пространства
(aij, . . ., хп) не характеризует времени переходного процесса.
При начальных возмущениях, лежащих на сфере
4 -}- . . . -f- Хп = А,
будет
е<Л-?Г^.
Отсюда время вхождения точки (хх, . . ., х") со сферы А в сферу г не
больше
АХ
ln Hxf'
Этот предел будет минимальным при заданных А и е, если параметры системы
выбраны согласно условию, что
АХ
^1п1х?
есть минимум *.
ГЛАВА 5
ДЕЙСТВИЕ ВОЗМУЩАЮЩИХ СИЛ НА РАВНОВЕСИЕ
Нормальные координаты
37. Рассмотрим голономную материальную систему в положении равновесия,
для которого значения всех ее лагранжевых координат д1ч . . ., qn
предполагаются равными нулю.
Уравнения в вариациях для возмущенного движения могут быть получены, если
в выражениях живой силы Т и потенциальной функции V мы ограничимся
членами наинизшего измерения и примем вблизи рассматриваемого положения
равновесия эти выражения в виде вещественных (симметричных) квадратичных
форм с постоянными коэффициентами
где аи - аи и bi} = Ьн.
Если материальную систему вывести из положения равновесия и предоставить
самой себе, то дифференциальные уравнения возмущенного движения в первом
приближении будут иметь вид уравнений Лагранжа
Уравнения эти возможно упростить. Пусть мы переходим от координат qu .'.
., qn к новым независимым переменным xt, q*, . . . • . q*~i путем
линейных преобразований с постоянными коэффициентами
g; = m-iX + • . . (г = 1..........п).
лагранжиан по переменной х в новых переменных есть
2Т и 2V = Ъъат]-
