Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Четаев Н.Г. -> "Устойчивость движения " -> 27

Устойчивость движения - Четаев Н.Г.

Четаев Н.Г. Устойчивость движения — М.: Наука, 1965. — 176 c.
Скачать (прямая ссылка): ustoychivostdvijeniya1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 63 >> Следующая

движений//Сб. тр. Казан, авнац. ин-та.- 1939.-
ТЕОРЕМА ГУРВИЦА
73
Из сказанного мы должны также заключить, что если цри изменении а от а0
до некоторого значения а, не уничтожаются ни ап, ни Лп_(, то
невозмущенное движение, отвечающее а = at. будет при этом асимптотически
устойчивым.
34 [19, 20]. Согласно предложению п. 32, неравенства Гурвица (As > 0, s =
l,..., га), выписанные для характеристического полинома / (z) = Л (z),
дают необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости.
Существуют многочисленные алгебраические видоизменения теоремы Гурвица.
Ими мы заниматься не будем; заметим, как аналогичные предложения можно
получить путем непосредственного рассмотрения задач устойчивости. Для
этого рассмотрим одну задачу, весьма полезную в дальнейшем.
Пусть корни характеристического уравнения Х,1? . . ., Кп имеют простые
элементарные делители. Каждому корню Л,в отвечает тогда всего одно
решение и одно каноническое переменное zs (s = 1, . . ., га). При этом
полная производная по t от выражения
?/"*.-%> = 2"т"?
где ап суть целые неотрицательные числа, имеет в силу
канонических уравнений первого приближения (12) следующий вид:
dU&'-av) , " , , , . 7(a,...a )
dt
(a^ -f . .. + anX") U
Изучим уравнение в частных производных первого порядка
^ = (13)
в котором непрерывная, ограниченная, уничтожающаяся, когда все xs суть
нули, функция W в рассматриваемой области изменений переменных хг, . . хп
разлагается в равномерно сходящийся ряд по полиномам С7<ос*' "ап):
Будем искать решение в виде
v =Sc(ai..."n,tf(ei-an>.
Подставляя это выражение в уравнение (13) и сравнивая коэффициенты при
получаем
("1^1 + • • • + аДп) С(а+...ап) - А
to -О-
№ 10), а вопросы о поведении траекторий как в области точек бифуркации М
так и в точках ответвления периодических орбит С рассматривал Н. Н.
Баутин (Баутин Н. Н. Поведение динамических систем вблизи границ области
устойчивости,- М.: Гостехиздат, 1950).
74
ГЛ. 4. О ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
Значения С(а,...а > определяются однозначно, если
"А агАп < 0.
Следовательно, если корни характеристического уравнения А (Я) допускают п
групп решений и выражение <*А + . . . + апКп никогда не нуль при целых
неотрицательных as, то уравнение (13) всегда имеет однозначное формальное
решение.
Если корни Я8 в плоскости комплексного переменного отметить изображающими
их точками и нагрузить последние неотрицательными массами as, то
выражение аА + . . . + апЯ" будет равняться М (I + щ), где М = ах + /. .
+ ап - общая масса, а ?, т) - координаты центра масс нагруженных точек.
Центр масс никогда не выходит за пределы выпуклой области, содержащей
нагруженные точки; поэтому, если все корни Я8 лежат по одну сторону от
некоторой прямой, проходящей через начало, то ни при каких
неотрицательных а, выражение <*А + . . . + а"Я" не может быть нулем.
Например, если вещественные части всех корней Яг, . . ., Яп отрицательны,
то равенство aА + . . . + а"Яп =0 не может существовать при
неотрицательных as; уравнение (13) имеет в этом случае однозначное
решение.
Если же существуют целые неотрицательные числа . . ., р", для которых
РА "Г • • • + РтА = 0,
то уравнение (13) имеет решение с точностью до члена Qpi-.-P с.
произвольным коэффициентом С<р,...р >,
если А(р,...р ) = 0. Если же 4(р,...р > ^ 0, то ограниченного решения
искомого вида для V не существует, в функции V члену ^(Pi.-P")^<Pl'"P")
будет отвечать
^(Р.--Р">* + ^(Pt--Pn)l ?f(P'"Pn>
С произвольной ПОСТОЯННОЙ С(р,...р ).
Рассмотрим теперь общий случай. Пусть
Xj, . . ., Я);
суть корни характеристического уравнения в предположении, что каждый
корень повторяется столько раз, сколько соответст-
(а\
вует ему групп решений. Канонические переменные Zj удовлетворяют
уравнениям (12).
Рассмотрим формы т-й степени
(S)
Ur-^n{zfp (S"|5)==m).
is
ТЕОРЕМА ГУРВИЦА
75
Таких форм будет конечное число. Формы эти занумеруем
лексикографически так, чтобы произведение степеней
переменных
всякой группы (s) (s = 1, . . к) с показателями
"(") _(s) "(S) (S)
(%i , . . CCj-i, &j , . . Сtns
относилось к номеру г большему, нежели номер, отвечающий показателям
_<8> "(S) , * (8) . (S)
(r)1 " ¦ • Ч Otj-1 Т *1 '> • • Ч
Это можно достигнуть различными способами. Предполагая такую нумерацию Uт
выполненной, рассмотрим уравнение
г
где Лг суть некоторые постоянные. Разыскивая решение этого уравнения под
видом
v = %сгиг
Т
и подставляя это выражение V в интересующее нас уравнение, получим,
согласно произведенной нумерации ?/,,,
[(а1^1 -Г • • • + Uг + S - 2 ^г^ г>
г И г
где ах, . . ., ак суть некоторые неотрицательные числа; аг . . . + ах =
т; суть некоторые неположительные числа, когда р < г, и нули, когда р ^
г. Сравнение коэффициентов при одинаковых UT дает следующие
алгебраические уравнения для определения коэффициентов
Сг (аА н- . . . + + S №'СР = Л.
р
Эта система уравнений будет иметь отличное от нулевого решение для Сг,
если определитель D, составленный из ее коэффициентов, будет отличен от
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 63 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed