Устойчивость движения - Четаев Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
или
2 амЪ -Ь Ъ ЬцЧ) = 0.
d (дТ \ , dV '
82
ГЛ. 5. ДЕЙСТВИЕ ВОЗМУЩАЮЩИХ СИЛ НА РАВНОВЕСИЕ
Отсюда, чтобы получить уравнение Лагранжа для переменной х, умножим
уравнения движения на постоянные множители т,- и сложим:
ij ij
зададимся далее целью определить множители mt так, чтобы имело место
соотношение
Х 55 т'а"д> = "Г
U 'ij
справедливое при всяких значениях переменных qj; отсюда
X (Xai} - bi}) mi = 0. (19)
i
При этом уравнение Лагранжа для х будет весьма простым:
х" + Хх = 0. (20)
Уравнения (19) будут иметь нетривиальное решение для множителей /л,
только тогда, когда X будет корнем уравнения
Л (X) = И Хаи - Ьи II = 0.
По теореме Сильвестра, доказываемой и в этом случае подобно п. 18, все
корни уравнения А (X) = 0 будут вещественны.
Матрица А (X) имеет простые элементарные делители.
Доказательство этого предложения, впервые подмеченного Вейерштрассом,
возможно изложить так *). Пусть X - некоторый корень уравнения А (Я) = 0.
Независимо от простоты связанных с X элементарных делителей система
уравнений (19) будет иметь по крайней мере одно решение, если последнее
считать с точностью до произвольного и общего всем т, множителя. И
значит, во всяком случае, будет существовать по крайней мере одна
переменная х, линейно связанная с переменными Лагранжа д1? . . ., qn и
удовлетворяющая уравнению (20). Заменим переменные qs новыми переменными
х, q*, . . ., q*-i - и для простоты письма новые переменные qf запишем
без звездочек: qs. После такой замены выражения живой силы Т и
потенциальной функции V неизбежно должны принять вид
п-1 п-J
2Т = х'2 г S a%4i4v 2F = Хх2 + X bijqiqj,
i, 1=1 3=1
так как уравнение Лагранжа, взятое по переменной х, должно совпадать с
уравнением (20). Живая сила Т по своему определению представляет всегда
определенно-положительную функцию
') Jordan С. // Comptes Rendus.- 1872.- V. 74,- P. 1395.
НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ
83
относительно скорое тей; поэтому квадратичная форма
71-1
5j aii4l4i
i, j=J
является определенно-положительной относительно
4it ¦ • • i *7n-i*
Следовательно, уравнения Лагранжа, взятые по переменным qx, . . будут
зависеть только от стоящих в последних вы-
ражениях Т и V сумм и будут допускать по крайней мере одно преобразование
переменных, подобно рассмотренному. Продолжая этот процесс дальше и
замечая, что в преобразованных выражениях живой силы всегда из-за их
знакоопределенности будут оставаться суммы, содержащие незамененные q's,
приведем тем самым Т и V в итоге к виду
21Г = Хх -f- х'п , 2V = ХхХх + . . . -f- кпх\.
л это и доказывает, что уравнения (19) имеют п нетривиальных решений для
тпх, . . ., тп, т. е. все элементарные делители матрицы А (А,) имеют
степени, равные 1. Определение множителей mi подобно изложенному в п. 24
определению Ди-.
Переменные xv называются нормальными координатами. Уравнения Лагранжа в
нормальных координатах имеют вид
x"v + КХ\' - 0 (v = 1, . . ., п).
Уравнения эти легко интегрируются:
xv = Ду cos {Y kvt + Bv) при *v>0,
xv = Avt + Bv при kv = 0,
xv = Avey~Xvt + Bve~yr=^'t при Av<[ 0,
где Ду, Bv обозначают постоянные интегрирования. Отсюда заключаем, что
если все корни kv для уравнения А (К) = || katJ - - bij II = 0
положительны, то в первом приближении равновесие устойчиво и возмущенными
движениями являются гармонические колебания нормальных координат ху
соответственно с частотами У A,v. Для прочих случаев равновесие в первом
приближении будет неустойчивым, и нормальная координата ха, отвечающая
не-доложительному корню ks, будет изменяться с течением времени либо по
линейному, либо по экспоненциальному закону.
Следует подчеркнуть, что при приведении к нормальным координатам
существенную роль играла знакоопределенность живой силы Т. Это означает,
что при существовании в механической системе некоторых циклических
координат, когда уравнения движения хотя и приводятся игнорированием
циклических коорди-
84
ГЛ. 5. ДЕЙСТВИЕ ВОЗМУЩАЮЩИХ СИЛ НА РАВНОВЕСИЕ
нат к виду уравнений Лагранжа (п. 9), однако для этих последних уравнений
функция R не всегда будет определенно-положительной относительно
скоростей нециклических координат и, следовательно, в задачах
устойчивости стационарных движений может случиться, что нормальные
координаты не существуют.
Влияние новой связи
38, Допустим, что на материальную систему наложена новая связь,
совместимая с рассматриваемым положением равновесия.
В первом приближении при малых абсолютных значениях нормальных координат
xv новую связь можно записать уравнением
АуХу = О ИЛИ 2 Л&Гу " О,
V V
где постоянные Av не все нули, a 8xv обозначают возможные вариации
нормальных коордийат. Уравнения движения могут быть получены при этом из
принципа Даламбера, выражающегося в нормальных координатах уравнением
(zv + ^vrv) = О-
V
Умножая уравнение связи на неопределенный множитель р и складывая его с
предыдущим выражением, имеем
(rv + Xvxv -f рЛ) 6xv = О,
V
откуда
xi 4- Кхх "г Р-Л = 0 (v = 1, . . ., п).
