Устойчивость движения - Четаев Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
соответствующего элементарного делителя обозначает, как мы знаем, число
решений в группе, отвечающей корню р = -As; числа ns перебирают все
показатели элементарных делителей матрицы А (А). Пусть группа частных
решений присоединенной системы для делителя (s) есть
?1 т!
где Ли суть постоянные, определение которых выяснено. Подставляя эти
частные решения у,- в выражение искомого интеграла U, найдем ns следующих
интегралов системы уравнений в вариациях:
U(s) = (z<8) ^ e-V (т = 0,1, . . ., ns - 1),
где z(p суть линейные формы относительно переменных . . . . . ., хп с
постоянными коэффициентами:
y\s^ - (-AiVттг + • • • + -Am+ii) е {рх - 0,1, . . ns - 1),
Z
(s)
Г
Все п = -f- . . . + пк интегралов, которые получим, давая s
все значения от 1 до А: включительно, будут линейно независимыми по
построению. Отсюда независимыми будут п линейных форм ZrS) (г = 1, . . .,
ns\ s = 1, . . ., к), которые, следовательно, можно принять за новые
переменные вместо xlt . . ., хп. Дифференцируя интеграл ?/(я) с наивысшей
степенью т - ns - 1, имеем
¦ + Zn
dz(s)
ч
dt
откуда
jz(s)
1 1 _(S)
КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД ПЕРВОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
63
Итак, при помощи неособого *) линейного преобразования с постоянными
коэффициентами (11) система дифференциальных уравнений в вариациях
преобразуется к каноническому виду (12).
Канонические переменные zf* разбивают пространство (xlt . . . . . хп) на
к подпространстве (zjS), . . z^), где s - 1, . к
в том смысле, что начальное возмущение какой-либо одной переменной zjs)
не затрагивает переменных z?f* при р, отличном от s, и при Р = s, а < у.
В случае существования комплексных характеристических корней Xs
отвечающие им канонические переменные zjs) будут также комплексными. Если
желаем иметь дело с вещественными переменными, то следует произвести
дополнительную замену переменных.
Допустим, что сопряженным корням
= X + р у-1' Х2 = X - р у- 1 соответствуют следующие величины z:
4Х> = uj + vi V-г*.
Z? = Uj - Vj У-\ (j = I, . . ., п1~ n2).
За новые переменные вместо z^, zf^ можно принять величины Uj, Vj, которые
будут линейными формами величин xs с постоянными вещественными
коэффициентами. Дифференциальные уравнения, каким удовлетворяют Uj, Vj,
получаются из (12) путем отделения вещественных и мнимых частей:
Чт = }'Ul - рг,,
^ = Xvx + р щ,
du.
= Xuj - р^ - u,_lt
dv.
-gi = XVj + pUj - Vj-i (/ = 2, . . ., Щ).
Такие группы уравнений получим для каждой пары комплексных сопряженных
корней. Для вещественных корней будем иметь группы вида (12).
31. Пример. Рассмотрим уравнения
dx 1 dx 4
dt ~ Х4 Х"' dt ~~ Х1 + Х* х5>
*) Под неособым линейным преобразованием понимается такое, определитель
Из коэффициентов которого отлцчеи от нуля.
64
ГЛ. 4. О ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
Чтобы определить канонические переменные zf\ выпишем матрицу
присоединенной системы
р 0 0 1 1 1
0 1 -f Jt -1 0 б 0
0 1 1-!-р 0 0 0
-1 0 0 1 ! и 0 1
0 0 0 1 4-р -1
-1 0 0 0 1 2 + ,
Элементарные делители этой матрицы суть
р2 + 2р + 2, (р2 4- 2р + 2)2.
Следовательно, характеристическое уравнение присоединенной системы D (р)
= 0 имеет два комплексных сопряженных корня р =-1 -j- i и р =-i - I,
каждое третьей кратности; характеристическое же уравнение заданной
системы А (Я) = 0 будет поэтому иметь корни Я = 1 - i и Я = 1 i той же
кратности. Для определения постоянных А]?], входящих в выражения
(с) "
канонических переменных zk и в выражения решении присоединенной системы,
рассмотрим такую цепочку миноров
04г, 5а - -р (2 + р), 04, 5 = р (2 р) (р* + 2р + 2),
удовлетворяющих правилу п. 29 для любого корня характеристического
уравнения присоединенной системы D (р) = 0.
Сначала определим постоянные Л к/' связанные (в известном смысле с
простым элементарным делителем (р Ь 1 -(- г)* Согласно формуле
.41а = D 42,5j
определим полиномы
Ап = 0, Alst = р (1 + р) (2 + р), Л13 = -р (2 + р),
Аи = 0, А15 = 0, Аи = О,
откуда для выбранного корня р = - 1 - г имеем
^12 ~ 2i, ¦Aia = 2,
и следовательно, согласно формуле (11)
*1" = 2 (я3 + ix2).
Определим теперь канонические переменные другой группы того же
корня. Поскольку все миноры первого порядка определителя D (р) имеют
общий множитель р2 -f- 2р + 2, мы можем
ах * It dx з' dt
КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД ПЕРВОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 65
определить полиномы Аг$, следуя замечанию в п. 26, по формулам
А • = °А}
11 ц" + 2р + 2 '
Имеем
Ац = (2 4 р)21 А12 - О, А13 = О,
.4И - (1 4 рМр2 4 2ц 4 2), А16 = р (2 + ц), .4|в •=
= -2 (1 4 р).
Отсюда по формуле (9)
A2i - 2 (2 -f р), A2i = О, А23 = О,
Ац - (Р2 4 2р 4 2) 4 2 (1 4 р)2, Д25 = 2 (1 4 ц), А"
= -2.
Подставляя в эти полиномы значение корня р = -1 - i, имеем АII = 2 г,
-4)2 = 0, -413 = О,
A j4 = О, -4)S = 2, -4= 2г,
4ai = -2 4 2г, .4 22 = О, А гз = (),
(tm) 2, А23 - 2i, А28 ~ -2,
откуда канонические переменные этой группы определяются по формулам (11)
г(12) ^ 2 i (xj 4 хв 4 ^о)' 42> = -2(х, 4 хв 4 гх5) 4 2г (х, 4 гх4).
Канонические переменные для сопряженного корня получаются переходом к
