Устойчивость движения - Четаев Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
высший предел; ее производная W' при указанном выборе р будет функцией
определенно-отрицательной. Выполнение этих условий согласно теореме
Ляпунова об асимптотической устойчивости доказывает наше утверждение.
Разумеется, если диссипация неполная, то устойчивость равновесия,
существующая при одних потенциальных силах, не будет упрочняться от
добавления таких диссипативных сил до асимптотической устойчивости.
Изолированное и неустойчивое при потенциальных силах равновесие не может
быть стабилизировано диссипативными силами с полной диссипацией.
Доказательство. Пусть среди Xv существует по меньшей мере один
отрицательный коэффициент и нет ни одного, равного нулю. Рассмотрим
функцию
= Я+ P2Uv*v*v-
Ее полная производная по времени в силу уравнений (21) есть W - - [2j
(C|iv 6)iV'P^-v) ХцХ\> "bpS "Г P S bjiv^n *?v] •
HV V HV
Дискриминант квадратичной формы, стоящей в квадратных скобках, есть
88
ГЛ. 5. ДЕЙСТВИЕ ВОЗМУЩАЮЩИХ СИЛ НА РАВНОВЕСИЕ
При достаточно малом положительном р, когда при определении знака главных
диагональных миноров этого дискриминанта возможно пренебрегать членами с
высшими степенями Р по сравнению с членами с низшими степенями р, все
главные миноры будут положительны, если диссипация полная и ни одно из Kv
не есть нуль. При таком выборе Р производная W' будет определенно-
отрицательной функцией переменных xv, xv. Функция W допускает бесконечно
малый высший предел, как функция, не зависящая явно от t; при этом
функцию W надлежащим выбором значений x's, xv в сколь угодно малой
окрестности точки х'у - О, xv = О можно сделать отрицательной. Этим
функция W, удовлетворяя всем условиям теоремы Ляпунова о неустойчивости,
доказывает утверждение.
Случаи неизолированного положения равновесия возможны, когда некоторые из
суть нули. Если ненулевые корни все положительны, то неустойчивость при
потенциальных силах существует за счет вековых членов, появляющихся в
выражениях для переменных xv, отвечающих нулевым корням; такую
неустойчивость диссипативные силы могут стабилизировать; например, сила =
- кх[ (к > 0) стабилизирует равновесие в случае, когда = 0, а остальные
положительны.
Доказательство неустойчивости при добавлении диссипативных сил в случае,
когда среди имеется по крайней мере один отрицательный корень и несколько
равных нулю, приводится к рассмотренному переходом к новым переменным
xv = yveEf,
где е есть подходящим образом выбранная постоянная.
Влияние гироскопических сил
40. Силы
== S (§\Ц = ?nv),
в
работа которых на действительном перемещении всегда равна нулю, лорд
Кельвин предложил называть гироскопическими.
Равновесие, устойчивое при одних потенциальных силах, сохраняет
устойчивость при добавлении гироскопических и диссипативных сил.
В самом деле, при добавлении таких сил дифференциальные уравнения
возмущенного движения вблизи положения равновесия имеют вид
ВЛИЯНИЕ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ сил
89
Если равновесие устойчиво при одних потенциальных силах, то все Xv
положительны. При этом полная энергия системы
V V
представляет определенно-положительную функцию. Ее полная производная Н'
в силу уравнений возмущенного движения
Н' = -2/
не будет положительной, независимо от того, будут ли диссипативные силы
обладать полной или частичной диссипацией или их совершенно не будет (/ =
0). Отсюда, согласно теореме Ляпунова об устойчивости, непосредственно
вытекает утверждение Кельвина о сохранении устойчивости равновесия при
добавлении гироскопических и диссипативных возмущающих сил.
Изолированное равновесие, неустойчивое под действием потенциальных сил,
остается неустойчивым при добавлении гироскопических сил и сил
диссипативных, если последние обладают полной диссипацией.
Доказательство легко проводится рассмотрением функции W = Я +
V
которая при отличных от нуля X и при полной диссипации будет иметь
определенно-отрицательную производную W', если положительная постоянная р
будет выбрана достаточно малой. Функция W, как не зависящая явно от t,
допускает бесконечно малый высший предел; и сколь бы малы по абсолютной
величине x'v, xv ни были, их можно подобрать так, чтобы W была
отрицательной, ибо среди Ху будет существовать по меньшей мере одно
отрицательное. Неустойчивость следует по теореме Ляпунова п. 14.
Если неустойчивость изолированного положения равновесия под действием
одних потенциальных сил имеет нечетную степень, то гироскопическая
стабилизация равновесия невозможна.
Действительно, при отсутствии диссипативных сил (что несущественно и
принято лишь для упрощения формул) уравнения движения суть
А = ' ХуГу 4" (gtiv - gvn).
в
Пусть число отрицательных Xv нечетно. Для изолированного положения
равновесия все Xv отличны от нуля. Характеристическое уравнение для этой
системы уравнений возмущенного движения
90
ГЛ. 5. ДЕЙСТВИЕ ВОЗМУЩАЮЩИХ СИЛ НА РАВНОВЕСИЕ
Имеем
А (0) = Х1 . . . К и А (Х)^х > 0.
При нечетном числе отрицательных Xv выражения А (0) и А (ос ) будут
разных знаков. Следовательно, уравнение А (X) = 0 имеет при этом по
