Аналитические и численные методы небесной механики - Чеботарев Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
найти способ для вычисления разностей
Так как согласно (VI. 25) Д*+у, = дг*+1- хк и Д* */а =
= хк - хк_1, то
Разлагая xk+1 = x(tk-t-w) и xk_1 = x(tk - го) по ств' пеням го, получим
(VI. 24)
(VI. 25)
¦**+1 - хк - Д*+7,.
Введем в рассмотрение вторые разности
Л* = - А*--/,.
(VI. 26)
д* = хк+1 - 2хк -+- Хк_г.
(VI. 27)
00
(VI. 28)
00
И=1
Подставляя в (VI. 27), находим
00
(VI. 29)
"=1
Обозначим
w*?JL = xv>F(x, t)=f.
- 288-
Тогда
до 2 / d'2X \ -V Ю'Н ! d2"X \ -
\-w [ dfi )к (2л)! { dt'-")k~
w=2
<VL30>
W=1
Выразим теперь производные через разности. Для этого воспользуемся
формулой Стирлинга
fit к zto)=fk -ч- zf'k -ч- Yyfl + Z(g23 j'1- fl
-4-^4=^-n-
4!
(VI. 31)
w
w
Дифференцируя no z и полагая z = 0, получим
/МЛ - f i_/з . JL /5 L/i+ 1
\dtjk~7* 67*^ 307* 1407*
_|__L /9____L_ /11 _i_
^6307* 27727* -*"•••"
/ ML) /2______L /4 _L /0_______/8
(rff* /* -7* 12 7* 90 7* 5607*
. 1 /10 _ 1 /12 .
3150 7* 11632 7* ' ' '*
3 / d3f ) /3 i_ /5 _J_ JL /7 41 /9 .
/* 47* 1207* 3024 7*
+4SLrff-....
151200
го
/4 i./0_H_Z_/8.
7* 6 7* 2407*
41
/a
479 453600 y*
/12____
J k • • • *
го'
7560
139
ю.
fl (ML) - /s_____L /7 /6_______ /и
7* 3J* 1447* 6048 7* ¦
го'
_ /о 1 /я , 13 /lfl 139 f \ /* Jk 4 7* 2407* 120967*
0,7 - /7_______L /9 ¦ J1 /11___
7* 127* 2407* •
19 Г. А. Чеботарг"
31 240
- 289 -
(VI. 32)
w
2°-
31
360
fk -
w
w
,10
12.
im =p-Lf
\dt*)k 3'*
1Щ =/o_I/rn
\dfijk 7* 2'*
(S).=A"-n?/2
-(SfjL-л--- •
Подставляя найденные выражения для производных в формулу (VI. 30),
получим основную формулу первого метода Коуэлла
1 " 1 ". 31 " 289
19 /*
*1
Чк
12
317
240
60480
я-
3628800
Л-
22809600
Я
6803 477
2615 348 736 000
Я
12.
(VI. 33)
Искомая координата хк+х находится теперь при помощи двойного суммирования
W=A .^, + 4, (
**+1 - хк~*~ &*+'/,•
Вычисления по методу Коуэлла начинаются следующим образом. Зная х0 и x_lt
можем вычислить
х0 хг = Д->/,.
После этого, отбрасывая в формуле (VI. 33) неизвестные нам пока члены с
разностями /f, /", ..., полагаем в первом приближении
Д0 = /о = (r)2/*о = w*F{xa, t0). (VI. 35)
Эта величина может быть легко вычислена непосредственно по уравнению (VI.
17), так как функция F(x, t) должна быть нам задана в явном виде. После
того как нам стала известна вторая разность А§, можем легко вычислить по
формулам (VI. 34)
Д ¦/,=?_./,
*1 = *о Д'/"*
- 290 -
. Д2
(VI. 36)
Имея теперь jc хв, хх, можем вычислить /2 и, следовательно, найти по
формуле (VI. 33) более точное значение для А2, а именно
A2o=/o+^/|. (VI. 37)
После этого по формулам (VI. 36) находим более точное значение хх.
Переходим теперь к вычислению х_2 по формулам (VI. 34)
(VI. 38)
х_г = х_х н-Д->,и.
Неизвестная нам вторая разность Ai.j находится по формуле (VI. 33).
AL1=f_1 = w2F(x_1, t_x).
После того как вычислено в первом приближении х_г, находим /Li и уточняем
значение второй разности
(VI. 39)
Теперь по формулам (VI. 38) находим во втором приближении значение х_2.
Точно так же вычисляем и х2. Теперь можно найти четвертую разность /J,
как это видно из следующей схемы:
х_2 F{х_2, t_2)
т ¦н 1 ч. /-,
•"о F(x0, Q /,
*1 F(xlt tx) A
** F(x2, t2) A
/А, , Л/,
/2 /4
/ О /О
А,. , А,
Возвращаемся снова к вычислению разности Д^2. По формуле (VI. 33) находим
новое, еще более точное значение
А2о=/о-*-!/?-23о/о (VI-40)
- 291 -
19*
и затем по формулам (VI. 36) - более точное значение Если интервал
интегрирования выбран таким образом, что шестая разность не больше, чем
двухзначное число, можем ограничиться в формуле (VI. 33) тремя первыми
членами. Поэтому значение AJ, полученное по формуле (VI. 40), можно
считать окончательным.
Когда интегрирование продвинулось достаточно далеко, то для вычисления А*
по формуле (VI. 33) неизвестные разности fi и /* определяются в первом
приближении при помощи экстраполирования "на глазок'* шестых разностей.
После этого находятся соответствующие Х)с+и Хк+2, ... и разности
перевычисляются обычным способом. Затем повторяют вычисление хк+1, хк+2,
... Если интервал интегрирования достаточно мал, то значения Хк+1, xi+2,
... не изменяются, а следовательно, не изменяются и разности.
Данный метод был успешно применен Коуэллом (1870- 1949) и Кроммелином
(1865-1939) в 1908 г. к движению восьмого спутника Юпитера и в 1910 г.
при изучении движения кометы Галлея за два оборота 1759-1835- 1910 гг. В
работе о движении кометы Галлея Коуэлл указал на возможность некоторого
улучшения своего метода. Этот "второй метод" Коуэлла, как выяснилось
впоследствии, совершенно идентичен с методом численного интегрирования,
который предложил Гаусс ("метод квадратур").
4. Второй метод Коуэлла. Для вывода формул, определяющих второй метод
Коуэлла, просуммируем равенства (VI. 34) от к = 1 до к = п- 1. Получим
Ая-1/2 = А_./а-н 2 А|"
(VI. 41)
х" = х0+ 2а*+7,-о
Но из формулы (VI. 33) следует, что
0 0 0 0
- 292 -
По определению имеем
/т-- fm-1__ fm-1
о -¦'¦/, -'-V. >
/"в- /т-1__ /т-1
