Аналитические и численные методы небесной механики - Чеботарев Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
1 /"/, /¦/, ,
/"в - fm-1_ /(в-1
2 ¦'•/, ¦'•/, "
/т -- fm-1 _ fm-1
я-1 J я-Ч, J в-*/,"
Складывая эти равенства, получим
2/Г=/Г4,-Лл- <VI- 43)
Мы можем теперь преобразовать равенство (VI. 42) следующим образом:
2л*=S-Ь) 12 (л-/, /-•/,)_
240 (/я-1/, ---------
- /"i/, ¦+¦ i2 /в-'/, 240 -^в-% "•"• ••
(w-44)
Подставляя (VI. 44) в формулу (VI. 41), находим
Дя-7.= Д-V* -^Г-7" 12 f в-7, ~ ~Ш ^"-Ч, -
<vi.45)
Полагая в (VI. 45)
= Д-'/" ~ 12 $-7"240 -^-7. 60480 -^-7" '+~
¦ 28" /7 317
/ ->/. 99 ЯПО ЛПО J -Ч.
3628 800 J -7" 22809600
6 803477
2 615 348736 000
/"л-..., (VI. 46)
- 295-
что можно всегда сделать, пользуясь произвольностью начального значения в
столбце первых сумм, получим окончательно
А*-1/, = /Г-'/, +11^я-7. 240 Л-/, -*"••• (VI. 47)
Обратимся теперь ко второму уравнению (VI. 34). Заменяя в (VI. 47) букву
п на к-+-1, напишем
А*+7>= /к+Чг U f Jr+'/s МО f*+'U ' (VI. 48)
Нам надо теперь просуммировать это выражение от к - 0 до к - п - 1.
Получим
2] д*+,/"=2 ~*~i2 2-^ *+'/,-
0 0 о
-Яо2А../,+ -" (VI.49)
о
Но на основании равенства (VI. 43) имеем
Я-1
2/М /от-1 /от- 1
/ Дг-н'/а /" -/о "
поэтому равенство (VI. 49) можем теперь написать так:
Я-1
2 Д*+'/3 = С^я"* /Г2) + й (Л Л) 240 (Л "+"
о
-*-••• =/7S_HU /" 240 ^я4- • • •
_^2-?^ + ж^+ • • • <VI- 50>
- 294-
ПодСтавляя (VI. 50) во второе равенство (VI. 41),
получим
хн = *о /я 2 ~\2 /" 240
-/о-2-^Л+25о/о-'-- (VI. 51)
Пользуясь произвольностью начального значения
в столбце вторых сумм, положим
1 , 1 " 31 ,4 289 ,л
/о *о 12 /" "*"240 ¦'о 60480 •'о 3 628800 ^о
/8 _ж_ 6 803 477 р0 ,у. tni
22809600 •'0 2 615348 736000•'О ivi.jz;
Теперь формула (VI. 51) окончательно запишется так:
х /-2 . _1_ f _ * /2 . /4______________/в
- у я 12 240 J я ^60480 J я 3628800 'я
_1____§12___/8 6 803477__ /ю_,_ (VI 53)
22809600 7я 2615348736000 7я ^ ivi. jo;
Формула (VI. 53) определяет второй метод Коуэлла. Начальные члены столбца
первых сумм и столбца вторых сумм вычисляются по формулам (VI. 46) и (VI.
52), т. е. уже не являются произвольными.
Вычисления по формуле (VI. 53) ведутся так же, как и в случае первого
метода Коуэлла, т. е. исходя из заданных х0 и Д_7, = лг0 - хх определяют
несколько смежных значений хх, х_2, хг, ... Затем нужные разности f\ и /*
находят в первом приближении, экстраполируя "на глазок" шестые разности.
5. Второй метод Коуэлла. Продолжение. Рассмотрим теперь второй случай
интегрирования уравнения (VI. 17), когда искомый интеграл х (t) задан
начальными значениями
x0 = x{t0),
(dx\ _(dx\ (VI. 54)
[dt)0 - [dt)i=la
- 295 -
Наша задача заключается в нахождении координат Xv х2, ... Первая из
формул (VI. 32) дает
О,(л)о -Л° 6 30 Д(r) "
С другой стороны, иа основании формулы (VI. 33) мы можем написать
хо=А°о=/72-*-т2/°~~тЯ~*~ • • •
И аналогично
Дм* /mi-2 I 1 /т __ 1 fm+i .
"о -Jo 12-' 0 240-'0 *'
поэтому
w (<7г)0=А"1 12 А 240^(r) "+"
240^0 '' •)"4~
30(/о4-12^о 240А4- • • •)¦+¦ • • •
или
W [dt\~f0 1 12 А"+"720А 60480-^(r)(VI. 55)
По определению
¦л-i _ /'7,1
/о о
или
/А=У (А/*1 + А,1 -/о) =/vi - У/о. (VI. 56)
Подставляя (VI. 56) в (VI. 55), окончательно получим
/- 1-ю(±\ _+.! / ,1/1 П я 191 2497 -
J'l> w[dt)o 2 JO \2Jо 720/о 60480Уо 3628000у 0
_14797_ 9 _ 92427157 /п ,у1 5?.
95800320 у о 2615348736000 уо <j • )¦
Таким образом, и в этом случае можно пользоваться для численного
интегрирования формулами (VI. 52) и (VI. 53), которые удовлетворяют
условию х0~х (f0), но вычисление исходного члена в столбце первых сумм
не-
- 296-
обходимо провести не по формуле (VI. 46), а по формуле (VI. 57).
Отличительной особенностью метода численного интегрирования возмущенных
координат является его универсальность. В то время как аналитические
методы небесной механики применимы только в том случае, когда возмущения
малы, а параметры орбит ограничены некоторыми пределами, при численном
интегрировании уравнений движения вообще не возникает вопроса о характере
орбит рассматриваемых тел и о величине возмущений.
Численные методы небесной механики, разработанные Клеро (1713-1765), в
течение XVIII в. применялись исключительно к кометам; в течение XIX в.
эти методы получили дальнейшее развитие и нашли широкое применение для
вычисления возмущений малых планет и, наконец, в середине XX в. появление
быстродействующих электронных вычислительных машин позволило применить
численные методы в теории движения больших планет, а затем и в задачах
астродинамики. Принципиальным недостатком численных методов является
быстрое накопление ошибок округления на каждом шаге интегрирования
уравнений движения. Этот вопрос детально изучался в Институте
теоретической астрономии в работах В. Ф. Мячина. После того как сделано п
шагов численного интегрирования, ошибки в полученных координатах
оказываются пропорциональными п\ иными словами, после 100 шагов
интегрирования ошибки округления в исходных значениях координат
увеличиваются в 1000 раз, т. е. три последних вычислительных знака в
