Аналитические и численные методы небесной механики - Чеботарев Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
2 = 202.8027, i= 95.0164,
Т = 1944 июль 17.61350.
Таким образом, орбита кометы оказалась гиперболической и можно было бы
думать, что комета Ван-Гента не принадлежит Солнечной системе, а
приблизилась к Земле из межзвездного пространства. Однако по
гелиоцентрическим элементам нельзя судить о форме первоначальной орбиты,
так как она искажена движением Солнца относительно центра масс Солнечной
системы. Чтобы исключить указанное влияние, необходимо определить форму
орбиты кометы относительно барицентра Солнечной системы.
7. Переход к барицентрической системе координат. Согласно определению
центра тяжести системы материальных точек т( координаты (х*, у*, z*) и
скорости (jc", у*, &*) кометы относительно нового начала будут
х* - х -t-ox, х* = х -+- 8л,
у*=у + Ъу, у* = у + Ч, (VI. 1)
z* - z -t- oz, z* - i-\- oz,
- 279 -
где
s, = _ 2(tm) ь ^
и аналогично для Ьу, Ьу, Ьх и bi. Величины (VI. 2) являются, очевидно,
малыми поправками порядка возмущающих масс. Точно также можно написать
4- = --ь8-, е* = е + Ье, (VI.3)
а а а 1 1 ' 7
причем а* и е* - большая полуось и эксцентриситет орбиты кометы,
отнесенные к барицентрической системе.
Задача заключается в определении 8-i и Ье. Метод
решения состоит в том, чтобы, зная зависимость между координатами и
скоростями, с одной стороны, и элементами орбиты, с другой, получить
выражение, связывающее вариации элементов с вариациями координат и
скоростей. При этом вместо постоянной Гаусса следует взять k* = k\J\ -+-
2т{, откуда
T=42m<- (VI. 4)
Введем орбитальную систему координат
к >/1
S = г cos v, I =--------------------j=- sin v,
Vp
(VI. 5)
(VI. 6)
. k V p (r \
Tl = rsinv, •(]-=:-?-Г- cos
С другой стороны, имеем
S = хРх -+- yPv -+- хР"
4 = xQx + yQt, + zQ"
где Px, ... Q, - направляющие косинусы орбитальных осей (?, tj)
относительно экваториальных координат (х, у, х). Соотношения (VI. 6) дают
8$ = РхЬх -+- РуЬу -+¦ P,bz,
8т| == Qxbx -+- Qyby -+- Q,bz,
8| = РхЬх -+- РуЬу -+- P,bi, (VL7)
Ц = Qr^x -+- Q"by -+- Q,oi.
- 280 -
Из интеграла живых сил
f*+^=p(2_l) (VI. 8)
находим
8 (^) = - ^ Sr-S'^+ 2 Р <S2 +
или
8 (т)=-h <t8t+1*4)'- ж №+Щ)+
-2"(т-тУ (Vl-9"
Величины ё, т), I, 1) и их вариации вычисляются по формулам (VI.
5) и (VI. 7). Для вычисления 8е воспользуемся
формулой
р = а(1-е*), (VI. 10)
которая дает
(V41)
Иа интеграла площадей
?•!) - -r\\ = ksjp
имеем
Ър = Ц^{Щ-щЪЬ + Щ-(r)г1)-2рт. (VI. 12)
Подставляя (VI. 9) и (VI. 12) в формулу (VI. 11), получим
Формулы (VI. 9) и (VI. 13) полностью решают поставленную задачу.
Аналогичные выражения можно получить и для других элементов орбиты
кометы.
-28! -
8. Первоначальные и будущие орбиты долгопериодических комет. Применяя
формулы (VI. 9) и (VI. 13) к элементам орбиты кометы 1944 IV (см. стр.
279), получим
(а*)"1 = н-0.000 998 а. е.-\ е* = 0.99777.
Однако оскулирующие элементы орбиты, близкой к параболе, вычисленные для
момента оскуляции вблизи перигелия, еще не дают ответа на вопрос о
характере первоначальной орбиты этой кометы. Для того чтобы определить
первоначальную орбиту, мы должны с помощью численного интегрирования
проследить за движением этой кометы в течение ряда предшествующих лет и
настолько далеко, чтобы иметь уверенность, что возмущения до этого
момента были незначительными. Такие вычисления для кометы 1944 IV,
выполненные И. В. Галибиной, показали, что
(а*)пёрв.= -+-0.000007 а.е.-\
иными словами, начальная большая полуось орбиты равнялась приблизительно
140000 а. е., т. е. в афелии комета 1944 IV находилась на расстоянии 280
ООО а. е. от Солнца.
Таким образом, комета Ван-Гента принадлежит к облаку Оорта. Вследствие
звездных возмущений ее перигельное расстояние уменьшилось до q - 2.2 а.
е. и она стала доступна для наблюдений с Земли.
В табл. 46 приводится список долгопериодических комет, относительно
которых можно утверждать, что они принадлежат к облаку Оорта. В этой
таблице также даны большие полуоси (обратные величины) их будущих орбит,
по которым эти кометы удаляются от Солнца за пределами орбиты Плутона.
Мы видим, что возмущения от известных нам больших планет выбрасывают
значительную часть долгопериодических комет за пределы Солнечной системы.
9. Численные методы вычисления возмущений. Для вычисления возмущений
кометных орбит применяются исключительно методы численного интегрирования
диф-
- 282 -
ференциальных уравнений. Это объясняется тем обстоятельством, что
эксцентриситеты и наклоны орбит, по степеням которых ведутся разложения в
аналитических методах, не могут рассматриваться как малые величины в
случае комет. Среди разнообразных численных способов интегрирования
дифференциальных уравнений возмущенного движения наибольшее
распространение в небесной механике получил способ интегрирования в
прямоугольных координатах, называемый обыкновенно способом Коуэлла.
Таблица 46
Первоначальные и будущие орбиты некоторых долгопериодических комет (по И.
В. Галибиной)
Комета (о*)-1 ' 'перв. <"*>буд.
