Аналитические и численные методы небесной механики - Чеботарев Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
1902 III -1-0.000017 +0.000875
1919 V -1-0.000013 -0.000052
1925 VII +0.000007 -0.000335
1936 I +0.000017 -0.000286
1942 IV +0.000007 -0.000847
1944 IV +0.000007 -0.000531
Метод Коуэлла широко и успешно применяется в Институте теоретической
астрономии как в его непосредственном виде, так и в той форме, которую
ему придал в 20-х годах Б. В. Нумеров (метод экстраполирования). С 1954
г. метод Коуэлла и метод экстраполирования применяются в Институте для
интегрирования уравнений движения малых планет на машине БЭСМ, а также
для решения других задач. В 1960 г. Д. К. Куликов (1912- 1964) разработал
методику интегрирования уравнений движения небесной механики на
электронных вычислительных машинах по методу Коуэлла с автоматическим
изменением шага интегрирования.
В методе Энке вычисляют отклонение возмущенных прямоугольных координат от
тех же величин в невозмущенном движении. Аналогичный метод для полярных
координат разработал Ганзен.
В XIX в. широко применялся метод вариации элементов. В этом случае
интегрируются численными мето-
- 283 -
дами дифференциальные уравнения, определяющие оскулирующие элементы.
§ 2. Метод Коуэлла
1. Уравнения движении. Дифференциальные уравнения движения в задаче п
тел имеют наиболее простую форму в том случае, когда эти уравнения
написаны в прямоугольных координатах, а начало координат лежит в центре
масс всей системы п материальных точек. В этом случае уравнения движения
имеют следующий вид:
В этих уравнениях через х, у, z обозначены барицентрические координаты
кометы, движение которой мы изучаем, а через mit xit yit z(-массы и
барицентрические координаты больших планет и Солнца. Однако в небесной
механике мы принимаем обычно за начало системы координат центр Солнца,
так как в этом случае становится ненужной отдельная теория движения
Солнца.
В гелиоцентрической системе уравнения (VI.14) принимают вид
(VI. 14)
где
д< = (*< - *)2 -+- (Уt - У)2 -+- (*< - *)а-
кЦ\ + т)-^+х,
- 284 -
где
Масса Солнца принята за единицу, т - масса кометы, которую можно положить
равной нулю. Суммирование распространяется на все большие планеты,
возмущения от которых мы хотим учитывать.
Координаты больших планет xit у{, z(t "солнечные
члены" - -пр, Ц-, Ц- и множители, связанные
r* Г{ с массами планет krmit могут быть взяты из специальных таблиц или
из Астрономического Ежегодника СССР. Уравнения (VI. 15) можно записать в
такой форме:
¦^T = F1(x, у, z, t),
-Эг=Л(*. У" *. О, (VI-16)
¦%jT = Fa(x, У, *, *),
которая указывает на то, что члены с первой производной по времени
отсутствуют. Мы рассмотрим для простоты численное интегрирование
уравнения
Цр = Р(х, t). (VI. 17)
Интегрирование системы уравнений (VI. 16) проводится аналогично, причем
все три уравнения интегрируются параллельно.
2. Разности и суммы. Введем прежде всего некоторые обозначения. Пусть
f(t) - непрерывная функция времени, значения которой мы будем
рассматривать для ряда равностоящих моментов /0, t0-+-w, t0-+- 2w, ... t0
- w,
- 285-
#0 - 2w, ... Величина w носит название шага интегрирования. Значения
функции /(#) будем обозначать через
/*=т, (Vi. 18)
где tk = t0-t-kw, к = О, 1, 2,... -1, -2,... Разности и суммы значений
функции будем обозначать так, как это показано в табл. 47.
Кроме буквы /, будем употреблять для обозначения разностей также букву А.
Табл. 47 может быть по мере надобности продолжена вверх, вниз и вправо.
Каждая иа величин, входящих в табл. 47, равна разности между двумя
величинами, стоящими в ближайшем левом столбце непосредственно ниже и
выше этой величины. Таким образом,
fм-i f\ =Л+'/,>
/;"-/и=д, <VU9>
при любом целом значении к.
- 286 -
Одно из значений столбца сумм первого порядка может быть взято
произвольно, например, /I'1/,. Остальные значения вычисляются по формуле
(VI. 20)
(VI. 20)
Точно так же, взяв произвольно одно из значений вторых сумм, например
/0~2, получим все остальные числа этого столбца по формуле
Таблица сумм и разностей дополняется еще полусуммами двух соседних
величин одного и того же столбца. Для этих полусумм приняты следующие
обозначения:
3. Первый метод Коуэлла. Приступим теперь к интегрированию уравнения
(VI. 17). Особенность этого уравнения состоит в том, что в правую часть
не входит первая производная и потому можно перейти прямо от второй
производной к искомой функции х (/) по одной формуле двойного
интегрирования, используя при этом интерполяционную формулу Стирлинга.
Таким образом мы можем избежать двух последовательных интегрирова-
" dx
ний - одного для нахождения а другого для нахождения x(t).
Интеграл х (/) уравнения второго порядка может быть задан или своими
значениями в двух точках, например,
(VI. 21)
(VI. 22)
- 287 -
или теми значениями, которые интеграл и его производная принимают в
начальный момент
Рассмотрим сначала первый случай. Пусть х_х и дг0 - заданные величины. По
этим данным требуется вычислить остальные значения xv х2, ... искомой
функции х (?). Очевидно, что для решения поставленной задачи необходимо
