Физика для углубленного изучения 3. Строение и свойства вещества - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 73. Шаровой слой в пространстве скоростей
192
V. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
случае соответствует объем этого шарового слоя, равный произведению площади поверхности сферы на толщину слоя, т. е. 4nv2Av. Выражение для вероятности того, что молекула имеет модуль скорости в заданном интервале, равно произведению (13) на 4nv2Av:
g(v)Av = 4n^j ' ^{-Щ^Ау. (И)
Если нас интересует среднее число молекул в единице объема с такими значениями модуля скорости, то мы должны умножить (14) на концентрацию газа п:
f(v)Av = 4nn^^j ы?[-Щу>Ау. (15)
Зависимость функции f(v) от скорости показана на рис. 74. Эта функция имеет максимум при значении v = V2кТ/т, называемом наиболее вероятной скоростью. Название связано с тем, что вероятность наугад взятой молекуле газа иметь скорость в интервале заданного размера будет наибольшей, когда этот интервал расположен под максимумом кривой функции распределения, т. е. когда он содержит в себе наивероятнейшую скорость.
Площадь, ограниченная графиком функции и осью v, дает полное число молекул в единице объема п..
Зависимость распределения по скоростям от температуры. При
повышении температуры кривая распределения молекул по скоростям деформируется так, как показано на рис. 75. Максимум кривой смещается при увеличении Т в область больших значений v. Максимальное значение f(v) при этом убывает, так что площадь под кривой остается неизменной.
Приведенные выше функции распределения молекул газа по скоростям были впервые получены Максвеллом и' носят его имя.
Экспериментальная кривая распределения Максвелла. Экспериментальное измерение скоростей молекул и проверка закона распределения Максвелла осуществляются различными методами, использующими молекулярные пучки. Один из первых таких опытов был проделан О. Штерном в 1920 г.
.300 К Л ООО к
Рис. 75. Функции распределения молекул газа по скоростям при разных температурах
Рис. 74. График максвелловского распределения молекул газа по скоростям
§ 22. СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
193
Рис. 76 Схема опытов Штерна
В экспериментальной установке Штерна использовались два коаксиальных цилиндра, скрепленных между собой (рис. 76). Цилиндры можно привести во вращение с определенной угловой скоростью. Вдоль оси О цилиндров натянута тонкая платиновая проволока, покрытая слоем серебра. При пропускании электрического тока проволока нагревается, и серебро начинает испаряться. Вся установка помещена в непрерывно откачиваемый вакуумный сосуд.
Испарившиеся атомы серебра летят прямолинейно.
Пролетев сквозь прорезь А во внутреннем цилиндре, они оседают на охлаждаемой поверхности внешнего цилиндра, образуя на ней четкую полоску В металлического серебра (рис. 76а). Если цилиндры привести в быстрое вращение с постоянной угловой скоростью, то полоска осажденных атомов на поверхности внешнего цилиндра оказывается смещенной от прежнего положения на некоторое расстояние I (рис. 766) и заметно размытой. Смещение вызвано тем, что за время пролета атомом расстояния от щели до внешнего цилиндра вся система успевает повернуться на некоторый угол ip. По смещению полоски можно судить о величине скорости атомов серебра. Размытие полоски происходит потому, что атомы серебра имеют различные скорости, и такой опыт в принципе дает возможность измерить распределение по скоростям атомов пучка.
Впоследствии аналогичные опыты неоднократно воспроизводились в различных вариантах для разных веществ. В частности, такие опыты давали возможность выделять из пучка группы атомов, скорости которых лежали в определенном заданном интервале скоростей. Во всех случаях было получено хорошее согласие с законом Максвелла распределения молекул по скоростям.
Вычисление средних значений. Знание статистических функций распределения дает возможность вычислять средние значения микроскопических параметров, не зная их значений у отдельных молекул.
Например, с помощью функции распределения Больцмана можно найти высоту центра масс молекул газа в поле тяжести. Координата zc центра масс N материальных точек одинаковой массы определяется формулой
(16)
< = 1
7 ЕЛ. Бутиков и др. Книга 3
194
V. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Нам неизвестны координаты zt отдельных молекул, но функция распределения Больцмана говорит о том, сколько молекул имеют значения в интервале от z до z + dz:
dN=n(z)dz. (17)
Теперь, при вычислении по формуле (16) можно сначала сгруп-
пировать слагаемые z;, лежащие в интервале от z до z + dz. Их вклад в сумму равен zn(z)dz. Затем остается просуммировать по всем таким группам, т. е. проинтегрировать по z от 0 до оо;
zc = Ь S zn(z) dz• (‘18')
О
Подставляя сюда n(z) из (8) и учитывая, что
00
N= ^ n(z) dz, (19)
