Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бутиков Е.И. -> "Физика для углубленного изучения 3. Строение и свойства вещества" -> 82

Физика для углубленного изучения 3. Строение и свойства вещества - Бутиков Е.И.

Бутиков Е.И., Кондратьев А.С., Уздин В.М. Физика для углубленного изучения 3. Строение и свойства вещества — М.: Физматлит, 2004. — 335 c.
Скачать (прямая ссылка): fizikadlyauglubleniyaizucheniya3stroenieisvoystva2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 76 77 78 79 80 81 < 82 > 83 84 85 86 87 88 .. 151 >> Следующая


Промежуток времени At можно выбрать настолько малым, чтобы толщина слоя vxAt была много меньше длины свободного пробега молекул. Тогда столкновений молекул между собой в этом слое практически не будет. Итак, число ударов, наносимых рассматриваемыми молекулами за время At, равно An(vx)vxSAt, а передаваемый при этом стенке импульс равен

2 mvxAn(vx)vxSAt.

Отсюда давление на стенку Ар, создаваемое этой группой молекул, равно

Ар = 2mvxAn(vx). (16)

Полное давление, создаваемое всеми молекулами, получим, просуммировав (16) по всем группам молекул, скорости которых направлены к стенке, т. е. по всевозможным значениям vx > 0:

p = 2m'2JvlxAn(vx) (vx>0). (17)

Вследствие хаотичности теплового движения в состоянии равновесия число летящих к стенке молекул со скоростью, лежащей в интервале от vx до vx + Avx, в среднем равно числу летящих от стенки молекул со скоростью от — vx до —(vx + Avx), т. е. An(vx) = An(-vx).

Так как под знаком суммы в (17) стоит квадрат проекции скорости, то сумма только по положительным значениям vx равна половине суммы по всевозможным vr:

(18)

Р = m'Z vlAn(vx).

Рис. 67. К вычислению давления газа
§ 21. МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

183

Легко сообразить, что сумма в (18) связана со средним значением квадрата проекции скорости молекулы на ось х. В самом деле, среднее значение v\ по совокупности из п молекул определяется формулой (2). Но в (18) фактически стоит та же самая сумма, только суммирование производится не по отдельным молекулам, а по группам молекул в единице объема, имеющих почти одинаковые значения vx. Поэтому (18) можно переписать в виде

p=mn(v\), (19)

где п есть среднее число молекул в единице объема с любыми скоростями, т. е. концентрация. Дальнейшие рассуждения не отличаются от использованных ранее. В силу равноправия всех направлений при хаотическом тепловом движении (v\) = <v2>/3, и, следовательно, формула (19) принимает вид

p — j тп(ьг), что совпадает с формулой (6).

Еще раз о роли столкновений. Теперь мы можем более четко сформулировать соображения о том, что столкновения молекул между собой не влияют на полученный результат. При подсчете числа ударов о площадку мы считали, что все молекулы из выделенной группы со скоростями от vx до vx + Лих, лежащие в слое толщиной vxAt, достигают стенки в течение промежутка времени At. Но на самом деле некоторые из них не долетят до стенки, так как в результате столкновений могут изменить направление скорости. Но кроме таких столкновений, в результате которых молекулы «уходят» из выделенной группы, в газе происходят столкновения, пополняющие эту группу молекул. В состоянии теплового равновесия, когда в газе отсутствуют макроскопические потоки, среднее число молекул в каждой группе не меняется со временем, несмотря на частые столкновения молекул. Поэтому столкновения не могут изменить среднего результата ударов молекул о стенки сосуда, выражаемого формулой (6).

Еще один вывод основного уравнения. В обоих приведенных выводах основного уравнения кинетической теории идеального газа фигурировала проекция скорости на направление нормали к стенке сосуда, и давление газа выражалось через среднее значение квадрата этой проекции (v\) (формулы (3) и (19)). Затем значение (v\) выражалось через (и2> благодаря эквивалентности всех направлений в изотропном газе. Можно построить рассуждения таким образом, чтобы с самого начала учесть эту изотропность.
184

V. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

Поскольку давление газа не зависит от формы сосуда, возьмем сосуд сферической формы, в котором сначала имеется только одна молекула. На рис. 68 показано сечение этого сосуда плоскостью,

проходящей через траекторию молекулы и центр сосуда. При абсолютно упругом столкновении со стенкой изменение импульса молекулы, как видно из этого рисунка, дается выражением 2mvcos а. Именно такой импульс передается стенке по нормали к ней при каждом столкновении, так как угол а при последовательных упругих столкновениях со стенкой остается прежним. Так как давление в газе определяется модулем импульса, передаваемого молекулами стенке по нормали к ней, то можно просуммировать эти модули для последовательных столкновений, невзирая на то, что при каждом соударении нормаль к стенке имеет свое направление. Как видно из рис. 68, расстояние, проходимое молекулой между любыми двумя последовательными соударениями со стенкой, равно 2R-cos а, где R — радиус сосуда. Поэтому за промежуток времени t молекула нанесет по стенке vt/(2R-cos а) ударов и передаст по нормали к ней импульс

vt mv2t

Рис. 68. Столкновение молекулы газа со стенкой сферического сосуда

2mvcos а

2K -cos а
Предыдущая << 1 .. 76 77 78 79 80 81 < 82 > 83 84 85 86 87 88 .. 151 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed