Физика для углубленного изучения 3. Строение и свойства вещества - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Равновесное состояние газа характеризуется не только распределением молекул по скоростям, но и по координатам. В отсутствие внешних полей это распределение будет однородным, т. е. газ равномерно распределяется по всему объему сосуда: в любых равных макроскопических объемах внутри сосуда в среднем находится одинаковое число молекул.
А как обстоит дело при наличии действующего на молекулы поля, например поля тяжести? Хорошо известно, что давление воздуха убывает с высотой. Следовательно, убывает и концентрация моле-
§ 22. СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
187
кул воздуха. Например, на высоте Эльбруса (5600 м) давление составляет лишь половину давления на уровне моря, т. е. концентрация молекул там уже вдвое меньше. Отсюда, конечно, не следует делать вывод, что на вдвое большей высоте совсем нет молекул воздуха, — самолеты летают и гораздо выше.
Распределение молекул по высоте. Найти закон распределения молекул газа с высотой в однородном поле тяжести можно из условия механического равновесия. Рассмотрим вертикальный столб газа с площадью основания S (рис. 70) и выделим в нем мысленно на высоте z слой толщиной Az настолько малой, чтобы плотность газа р можно было считать в пределах этого слоя постоянной, но в то же время эта толщина должна быть такой, чтобы внутри выделенного слоя было много молекул и можно было бы говорить о производимом ими давлении.
Применим к этому выделенному слою газа условие механического равновесия подобно тому, как это делалось в гидростатике для слоя жидкости, где мы, используя понятие давления, совершенно не интересовались его молекулярнокинетической природой. Мы можем так поступать, ибо давление газа на стенку сосуда, рассматриваемое как результат передачи молекулами импульса стенке при столкновениях, и гидростатическое давление в газе или жидкости на опыте измеряются одинаково, одними и теми же приборами и, следовательно, представляют собой один и тот же макроскопический параметр рассматриваемой системы.
Условие механического равновесия выделенного слоя газа состоит в том, что действующая на него сила тяжести уравновешивается силами давления на верхнее и нижнее основания. В проекции на ось z (рис. 70) это условие записывается в виде
p(z)S — p{z + A z)S — pgSAz = 0.
Так как давление на высоте z + Az можно записать в виде p(z + Az) = p(z) + Ар, то условие равновесия принимает вид
Ap = -pgAz. (1)
Входящая в (1) плотность газа р зависит от давления. Выразим ее из уравнения Менделеева—Клапейрона для произвольной массы газа mr
Рис. 70. Равновесие мысленно выделенного объема газа в поле тяжести
188
V. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
где М — молярная масса. С помощью (2) получаем
тг Мр Р V RT
(3)
Подставляем это выражение в (1) и переходим к пределу при Az—>0. Так как предел отношения Apt Az при Az—>0 есть производная dp/dz, то получаем следующее дифференциальное уравнение для функции p(z):
dp_____Mg п ^
dz
RT
Это уравнение говорит о том, что производная искомой функции пропорциональна самой функции. Как известно, единственной функцией, обладающей таким свойством, является экспонента, и, следовательно, решение такого уравнения при постоянных g и Т имеет вид
p(z) = С ехр
Mgz ' RT
(5)
Значение постоянной С определяется из условия, что давление на высоте z = 0 равно величине р0:
Mgz]
p(z) = Р0 ехр
RT
(6)
Барометрическая формула. Формулу (6) можно переписать в несколько ином виде, учитывая, что молярная масса М равна
произведению массы молекулы m на постоянную Авогадро NA:
p(z) = р0 ехр
mgz ' кТ
(7)
Рис. 71. Зависимость давления газа
Соотношение (6) или (7) называется барометрической формулой. Выражаемая ею зависимость давления газа р от высоты z графически представлена на рис. 71.
Отметим, что применимость барометрической формулы к реальной земной атмосфере весьма ограничена, так как атмосфера практически никогда не находится в состоянии теплового равновесия и ее температура меняется с высотой. Учитывая связь между давлением газа и концентрацией молекул
р = пкТ,
из (7) получаем распределение молекул по высоте во внешнем поле:
§ 22. СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
189
Распределение Больцмана. Легко заметить, что в числителе показателя экспоненты в (8) стоит потенциальная энергия молекулы, находящейся в поле тяжести на высоте z: en(z) = mgz, т. е. эту формулу можно переписать в виде
n(z) = п0 exp|-^j. (9)
Этот полученный на конкретном примере результат имеет весьма общий характер. Формула (9) дает равновесное распределение молекул в пространстве в любом потенциальном поле и называется распределением Больцмана.
Общая теория равновесных статистических распределений была создана Дж. Гиббсом. Он показал, что в состоянии теплового равновесия при температуре Т закон распределения молекул по любой характеризующей их состояние величине (координате, скорости, энергии) имеет экспоненциальный характер, причем в показателе экспоненты, как и в (9), стоит взятое со знаком минус отношение характерной энергии молекулы к величине кТ, которая пропорциональна средней кинетической энергии хаотического движения молекул.
