Физика для углубленного изучения 3. Строение и свойства вещества - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
ляется хаотическим, то можно объяснить все наблюдаемые на опыте закономерности броуновского движения.
Закономерности броуновского движения. На первый взгляд могло бы показаться, что совершенно хаотический, беспорядочный характер ударов отдельных молекул должен был бы приводить к тому, что броуновская частица, масса которой во много раз больше массы молекулы, вообще не должна была бы заметно перемещаться. В самом деле, действие ударов, полученных броуновской ча-
стицей с одной стороны, должно полностью компенсироваться ударами с противоположной стороны. В такой ситуации, казалось бы, броуновская частица может только «дрожать» на месте. Ошибка такого рассуждения заключается в том, что случайный процесс подменяется, по существу, регулярным чередованием воздействий с противоположных сторон. Но такое чередование уже не является случайным процессом, а обладает высокой степенью упорядоченности. Степень упорядоченности такого чередования не отличается от степени упорядоченности процесса, в котором все
Рис. 65. жение
Броуновское дви-
172
V. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
испытываемые частицей толчки происходят в одном направлении. Если, например, результат одного толчка характеризуется некоторым расстоянием /, то результат последовательности N упорядоченных толчков пропорционален величине N1. Если же последовательность этих N толчков носит случайный характер, то их результат пропорционален /V77. Покажем это.
Будем с помощью измерительного микроскопа определять расстояние, на которое броуновская частица удаляется от начала координат за время t, многократно повторяя этот опыт. Всякий раз мы будем получать разные значения этого расстояния, однако в большинстве опытов будут получаться близкие друг к другу значения и лишь изредка заметно отличающиеся от остальных. Можно ввести среднее расстояние, на которое уходит частица от начала координат. Направления перемещений в отдельных опытах могут быть совершенно различными, поскольку все направления равновероятны.
Зависимость среднего перемещения от времени. Задача состоит в том, чтобы найти зависимость от времени среднего расстояния, которое будем обозначать <R).
Разделим интересующее нас время наблюдения t на большое число равных малых промежутков At таких, что в течение каждого промежутка частица испытывает огромное число ударов со стороны молекул жидкости. По существу, такое рассуждение означает многократное повторение опыта по измерению среднего расстояния, пройденного частицей за время At, причем каждый раз мы совмещаем начало координат с положением частицы в конце предыдущего промежутка времени At. Другими словами, это такой же опыт, как и рассмотренный выше, только осуществляемый за промежуток времени At, а не t. Поскольку и за промежуток At частица испытывает огромное число ударов, все приведенные выше рассуждения остаются в силе: направление перемещения за каждый «шаг» At совершенно произвольно и никак не связано с направлением перемещений в другие промежутки, а расстояние, проходимое частицей за At, будет примерно одинаковым для большинства промежутков.
Для простоты будем считать это расстояние одинаковым для всех шагов и обозначим его через L.
Пусть в результате N таких последовательных шагов частица оказалась в точке с радиусом-вектором R^. Тогда после очередного шага она попала в точку
Rtf + l = 1-JV + 1> (О
где Ьлг+1 — вектор перемещения за (N + 1)-й шаг, имеющий произвольное направление и определенную длину L. Расстояние частицы от начала координат после (N + 1)-го шага равно
RN + l = л/Rl + 1RNL-cos f + L2. (2)
§ 20. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВАНИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ 173
Здесь <р — угол между векторами и L^+J. Найти среднее значение правой части этого выражения затруднительно, ибо усреднять нужно квадратный корень, а в общем случае среднее значение функции не равно этой функции от среднего значения аргумента: </(*)> =А/(<х>). Легко заметить, что если возвести (1) или (2) в квадрат:
R2N+l = R2N + 2RNL-cosy + L2, (3)
то среднее значение квадрата смещения может быть легко найдено. Поэтому будем использовать для характеристики удаления броуновской частицы от начала координат не <R), а V (R2). Усредняя левую и правую части (3) и учитывая, что угол ф с равной вероятностью принимает любые значения от 0 до 2л, т. е. <cos ip) = О, получаем
(R2N+l) = (R2n) +L2. (4)
Используя метод математической индукции, на основе соотношения (4) легко показать, что
(R%) = NL2. (5)
Таким образом, среднее значение квадрата смещения пропорционально числу шагов, а поскольку шаги совершаются за одинаковые промежутки времени At, то
(R2) = at. (6)
Это, конечно, не означает, что среднее смещение пропорционально времени. Броуновское движение частицы таково, что средний квадрат смещения растет пропорционально времени. Другими словами, квадратный корень из <R2> растет со временем пропорционально vT. Эта величина, т. е. V<7?2), называемая средним квадратичным значением R, не равна среднему значению расстояния <R) частицы от начала координат спустя промежуток времени t, которое мы хотели определить. Однако можно показать, что эти величины отличаются только постоянным множителем. Поэтому среднее расстояние броуновской частицы от начала координат также пропорционально vT:
