Физика для углубленного изучения 3. Строение и свойства вещества - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим, какими способами молекулы могут распределяться между половинами сосуда. Одну молекулу можно разместить в сосуде двумя способами — либо в левой, либо в правой его половине. Исходя из симметрии, естественно предположить, что вероятность найти молекулу в какой-то одной половине сосуда равна 1/2, если, конечно, сосуд разделен на строго равные части. Две молекулы можно распределить в сосуде четырьмя (22) способами, ибо для каждого из двух способов распределения одной молекулы существует два способа распределения другой. Для трех молекул число способов распределения равно восьми (23), так как для каждого из четырех возможных вариантов распределения первых двух молекул есть две возможности распределения третьей молекулы, и т. д. В случае N молекул число способов распределения равно 2N.
Вероятности распределений молекул по половинам сосуда. Будем считать, что вероятность нахождения любой наугад взятой молекулы в определенной половине сосуда не зависит от того, где в этот момент находятся все остальные молекулы. Это верно для идеального газа, молекулы которого не взаимодействуют между собой и имеют пренебрежимо малые размеры, так что их собственный
§ 23. ТЕПЛОВОЕ РАВНОВЕСИЕ В СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ 197
объем значительно меньше объема сосуда. В этом случае каждый из 2N способов распределения N молекул в сосуде имеет одну и ту же вероятность, равную (1/2)^. Разъясним это подробнее.
Молекулы газа находятся в тепловом движении, и их расположение в сосуде непрерывно изменяется. Предположим, что мы можем делать мгновенные «фотографии» положения молекул в сосуде. На каждой такой «фотографии» мы увидим один из мыслимых способов распределения молекул. Распределения на любых двух снимках считаются одинаковыми, если в какой-либо половине сосуда, например левой, на обоих снимках находятся одни и те же молекулы. Утверждение о равной вероятности всех 2N распределений означает, что какое-либо распределение будет встречаться на снимках не чаще и не реже других, в среднем один раз в каждой серии, содержащей 2N «фотографий».
Разместить все N молекул в одной половине сосуда можно только одним способом. Поэтому вероятность того, что весь газ самопроизвольно соберется в одной половине сосуда, равна (1/2)^. При больших N это очень малая величина. Например, для газа, содержащего всего 100 молекул, вероятность такого события равна 2-юо ~ ]0-3°. в среднем только на одном из Ю30 снимков мы бы увидели, что одна из половин сосуда пуста. (Чтобы представить себе, насколько велико это число, вспомним, что, по преданию, изобретатель шахматной игры потребовал в награду «всего» 264 « 1019 зерен пшеницы. Это оказалось больше, чем количество зерен, которое может уместиться в амбаре высотой 5 м и шириной 20 м, протянувшемся от Земли до Солнца.) И это для газа, состоящего всего из ста молекул! А для одного моля газа, где число молекул составляет 6 -1023, вероятность всем молекулам оказаться в одной половине сосуда настолько мала, что просто невозможно найти для нее подходящее сравнение в мире образов, доступных человеческому воображению.
Разместить N молекул в сосуде так, чтобы в определенной половине сосуда была только одна молекула, а в другой остальные (N — 1), можно, очевидно, N способами, поскольку в первой половине сосуда может при этом находиться любая из N молекул. Вероятность такого распределения молекул равна N/2N.
Подсчитаем теперь вероятность того, что в определенной половине сосуда находится заданное число п молекул. Эта вероятность равна отношению числа способов распределения, при которых в выбранной половине сосуда находятся любые п молекул, к 2N — полному числу возможных распределений.
Число таких распределений, очевидно, равно числу способов, которыми можно выбрать п молекул из совокупности N молекул, т. е. числу сочетаний из N по п. Это число сочетаний равно
дг. (1)
Сп —
n\(N-n)l '
198
V. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Поэтому вероятность Рп того, что в какой-нибудь, например левой, половине сосуда находится п молекул, равна
Рп = ———---------------------------------. (2)
" 2 Nn\(N-n)\
Такое распределение вероятностей называется биномиальным.
Вероятность равномерного распределения. Теперь с помощью (2) легко рассчитать, как часто на наших «фотографиях» будут встречаться те или иные распределения молекул. Для газа из 100 молекул вероятность того, что молекулы распределятся между половинами сосуда строго поровну, приблизительно равна 1/18, т. е. такое распределение встречается в среднем один раз на каждые 18 снимков.
Итак, строго равномерное распределение молекул по объему встречается не так уж и часто. Но если мы подсчитаем вероятности таких распределений молекул, при которых в одной половине сосуда будет на две, четыре и вообще на небольшое число молекул больше, чем в другой, и просуммируем эти вероятности, то мы увидим, что вероятность появления любого из таких распределений будет близка к единице, а очень неравномерные распределения, при которых число молекул справа и слева различается сильно, будут встречаться крайне редко.
