Физика для углубленного изучения 3. Строение и свойства вещества - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Статистическим весом или термодинамической вероятностью некоторого макросостояния системы называется число различных микросостояний, которыми может быть реализовано данное макросостояние. В рассмотренном примере статистический вес макросостояния с определенным числом п молекул в левой половине — это число способов такого распределения N молекул газа по половинам сосуда. Оно равно числу сочетаний С^.
§ 23. ТЕПЛОВОЕ РАВНОВЕСИЕ В СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
201
Как определить понятие теплового равновесия при статистическом подходе? Рассмотрим две термодинамические системы, находящиеся в тепловом контакте и образующие вместе замкнутую систему с определенной энергией Е. Число частиц и объем обеих подсистем фиксированы, но они могут обмениваться энергией в форме теплопередачи. Пусть на долю первой подсистемы приходится энергия Ev а на долю второй — остальная энергия Е — Ev Число микросостояний всей замкнутой системы W(EX\E) равно при этом произведению числа различных мик-росостояний первой подсистемы (?,) на число микросостоя-ний второй подсистемы W2(E— Е^:
W(El\E) = Wl(El)-W1(E-El). (3)
Значение W(E{\E) будет разным в зависимости от того, какая часть Е{ полной энергии Е приходится на первую подсистему.
Тепловое равновесие между подсистемами определяется как макроскопическое состояние с наибольшим статистическим весом, т. е. состояние с таким распределением энергии между подсистемами, при котором W(El\E) как функция Ех имеет максимальное значение. В разобранном примере состоянию равновесия соответствовало распределение молекул между половинами сосуда поровну.
Найдем, при каком условии статистический вес W(El\E) максимален. Приравняем нулю производную dW(El\E)/dEl:
dW,(E,) dW2(E-E,) „ ...
-1ST+ ж' щ <4>
Производная от W2(E — Е{) по Ех равна взятой с противоположным знаком производной от W2 по ее аргументу Ег~ Е — Е{.
Поэтому (4) можно записать в виде
1 dWy _ 1 dw2
Wy dEy W2 dE2 •
Равенство (5), выражающее условие максимума статистического веса, равносильно равенству производных от логарифмов:
d in w, d In W'
_________1_ ___ ц " 2
dEl dE2
(6)
Энтропия и температура. В статистической механике энтропия S и термодинамическая температура Т определяются следующими равенствами:
5= k In W, (7)
1 _ dS _ din W ,ON
T dE dE • W
202
V. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
При вычислении производной в (8) объем системы V и число частиц в ней N следует считать фиксированными параметрами.
Определение температуры (8) обусловлено тем, что в состоянии теплового равновесия, характеризующимся равенством температур, именно такая величина, как видно из (6), одинакова у обеих подсистем.
Определенная равенством (7) энтропия как характеристика макросостояния термодинамической системы обладает следующими свойствами.
Во-первых, энтропия аддитивна: энтропия всей системы равна сумме энтропий составляющих ее частей. Это непосредственно следует из равенства (3).
Во-вторых, энтропия системы максимальна в состоянии теплового равновесия. Это значит, что введенная определением (7) энтропия обладает таким же свойством, что и энтропия, введенная в термодинамике: согласно второму закону термодинамики энтропия замкнутой системы имеет максимальное значение в состоянии теплового равновесия.
Покажем согласованность определений энтропии (7) и температуры (8) с определениями этих величин в термодинамике. Пусть два тела с разными температурами Ту и Т2 приводятся в тепловой контакт. В результате теплообмена они приходят в состояние теплового равновесия. Энтропия S всей системы при этом увеличивается. Запишем выражение для изменения S:
Пусть некоторое количество теплоты ДЕ переходит от тела с температурой Т2 к телу с температурой Г,. При этом энергия Еу первого тела возрастает, а энергия Ег убывает: ДЕу = —АЕг = АЕ > 0. В соответствии с определением (8) производные в (9) равны обратным температурам тел:
Отсюда следует, что Т2> Ту, т. е. что при теплообмене энергия переходит от тела с более высокой температурой к телу с более низкой температурой.
AS = AS у + Д52 = ^ АЕу +щА Ег> 0. (9)
dSy 1
dE. т. ’
dS2 i dE 2 т2 •
Теперь (9) переписывается в виде
Задача о расширении газа в пустоту. Покажем, что статистическое определение (7) энтропии S приводит при решении задачи о необратимом расширении газа при разрушении перегородки
§ 23. ТЕПЛОВОЕ РАВНОВЕСИЕ В СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
203
в сосуде (см. § 19) к тому же результату, что и термодинамическое определение. Напомним условие задачи.
Идеальный газ находится в одной половине теплоизолированного сосуда, разделенного перегородкой на две равные части. Определить изменение энтропии газа, если перегородка внезапно разрушается и газ заполнит весь сосуд.
