Физика для углубленного изучения 3. Строение и свойства вещества - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Распределение по проекции скорости. В частности, для распределения молекул газа по проекции скорости на какое-либо направление в показателе экспоненты стоит отношение зависящей от этой проекции части энергии молекулы к кТ:
f(vx) = a exp = a exp (--g) . (10)
Величина f(vx) называется функцией распределения молекул по проекции скорости на ось х. Произведение f(vx)Avx равно среднему числу молекул газа в единице объема, у которых проекция скорости на ось х лежит в интервале от vx до vx + Avx, подобно тому как произведение n(z) из формулы (9) на Az дает среднее число молекул, z-координата которых лежит между z и z + Az.
Функция распределения. Остановимся подробнее на смысле функции распределения f{vx). Прежде всего подчеркнем, что бессмысленно задавать вопрос о том, сколько молекул имеют строго определенное значение vx, например ровно 500 м/с. Скорее всего, в данный момент во всем сосуде с газом не окажется ни одной молекулы с таким значением vx, так как число молекул газа хоть и очень велико, но все же конечно, в то время как допустимых значений vx бесконечно много. Поэтому имеет смысл говорить только о среднем числе молекул в единице объема, значение проекции скорости которых на ось х лежит в интервале от vx до vx + Дг^ж, например от 500 до 501 м/с.
190
V. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Нормировка функции распределения. Наглядное представление о законе распределения молекул по проекции скорости дает график функции f(vx), определяемой формулой (10), который приведен на рис. 72. Площадь заштрихованной полоски на этом рисунке, равная
f(vx)Avx, дает, как мы видели, среднее число молекул газа в единице объема, у которых проекция скорости vx лежит в указанном интервале Avx. Теперь легко сообразить, что полная площадь, ограниченная графиком функции f(vx) и осью vx, дает число молекул, у которых vx имеет любые значения от — оо до оо, т. е. дает полное число молекул в единице объема. Именно из этого условия, называемого условием нормировки функции распределения, и определяется постоянная а в формуле (10). Для ее нахождения нужно проинтегрировать функцию f(vx) по vx от -оо до оо и приравнять результат концентрации молекул п. Это дает следующее значение постоянной а:
Функции распределения можно дать и несколько иную интерпретацию. Вместо того чтобы говорить о том, сколько в среднем молекул в единице объема имеют значение vx в заданном интервале, можно говорить о том, какова вероятность того, что наугад выбранная молекула имеет значение vx в этом интервале. Эту вероятность можно понимать как отношение среднего числа таких молекул к полному числу молекул в единице объема. Обозначая ее через q(vx)Avx, можем написать
/'
Рис. 72. График функции распределения f(vx)
(П)
(12)
Распределение по трем проекциям скорости. Из-за полной хаотичности теплового движения в состоянии равновесия можно счи-
§ 22. СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
191
тать, что все направления равноправны. В противном случае в газе существовало бы некоторое преимущественное направление движения молекул и, следовательно, существовал бы направленный поток газа, чего нет в состоянии теплового равновесия. Поэтому, если выбрать любые три взаимно перпендикулярных направления х, у, z, то функции распределения молекул по проекциям скорости на эти направления будут иметь один и тот же вид (12).
Можно поставить вопрос, какова вероятность того, что наугад выбранная молекула газа будет иметь значения трех проекций ее скорости vx, vy и vz в заданных интервалах: проекция на ось х в интервале от и„ до и„ + Av. на ось у — от до vt, + Av„, на ось
ххх У У У
z — от vz до v2 + Avz. Вероятность иметь, например, vx в заданном интервале не зависит от того, каковы значения двух других проекций скорости молекулы. Это значит, что вероятность того, что все три проекции скорости лежат в заданных интервалах, равна произведению вероятностей для каждой из проекций в отдельности:
g(vx,vy,vz)AvxAvyAvz = g(vx)Avx-g(vy)Avy-g(vz)Avz.
Теперь с помощью (12) можем написать
3/2
g(vxyv ,VZ)
2-хкТ
exp
^ (v2x + v2y + vt)
(13)
В показателе экспоненты в (13) фактически стоит квадрат скорости молекулы, и показатель равен отношению ее кинетической энергии к кТ. Таким образом, эта функция распределения зависит только от модуля скорости, но не от ее направления. Распределение по скоростям, как и следовало ожидать, оказывается равномерным по всем направлениям, т. е. изотропным в пространстве.
Распределение по модулю скорости. Теперь легко получить выражение для вероятности того, что наугад выбранная молекула имеет модуль скорости в заданном интервале от v до v + Av, независимо от того, как эта скорость направлена. Для этого нужно найти, чему соответствует произведение AvxAvyAvz для всех молекул, модуль скорости которых лежит в заданном интервале от v до v + Av. Если построить систему координат vx,vy,v2 (рис. 73), то легко видеть, что молекулам с одинаковым значением модуля скорости v соответствуют точки на поверхности сферы радиуса v с центром в начале координат. Молекулам со скоростями в интервале от v до v + Av соответствует шаровой слой толщины Av. Поэтому произведению AvxAvyAvz в рассматриваемом
