Физика для углубленного изучения 3. Строение и свойства вещества - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Статистический вес начального состояния газа равен единице: Wt = 1, так как существует лишь одно микросостояние, при котором все молекулы находятся в одной половине сосуда. В конечном состоянии молекулы распределены по половинам сосуда почти поровну (строго поровну, если отвлечься от флуктуаций). Вследствие исключительной остроты максимума кривой распределения вероятностей различных распределений молекул газа по половинам сосуда приближенно можно считать, что все остальные (2^— 1) микросостояний системы соответствуют конечному макросостоянию:
W2 « 2* - 1 « 2N.
Поэтому в соответствии с (7)
AS = ?(1п W2 - In Wy) = kN In 2.
При строгом решении следует воспользоваться формулой (1) при п = N/2:
W2 = С%12 = —, (Ю)
2 N [(п/2)!]2
и формулой Стирлинга
п! « (2лп)1,гпп.
В результате имеем
In W2 « N In 2 - ~ In N.
Поскольку N ^ 1023, то In N«50, и для энтропии получаем прежнее значение
AS=kNln2. (И)
Распределение Гиббса. Гипотеза Гиббса о равной вероятности всех микросостояний замкнутой системы позволяет получить функцию распределения вероятностей для любой малой подсистемы, находящейся в тепловом контакте с очень большой системой — термостатом.
Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из рассматриваемой подсистемы и термостата. Пусть Е0 — энергия всей замкнутой системы, а Е — энергия выделенной подсистемы. Тогда на
долю термостата приходится энергия Е0 — Е. Очевидно, что ве-
204
V. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
роятность Р(Е) подсистеме иметь энергию Е пропорциональна числу микросостояний W{E0 — Е) термостата с энергией Е0 — Е. Поэтому для отношения двух вероятностей Р(ЕХ) и Р(Е2) можно написать
Р(ЕХ) _ W(E0 — ЕХ)
Р(Е2) ~ W(?0 — Е2) '
Используя определение энтропии (7), перепишем это отношение в виде
Р(Е\) AS
¦т^ = ехР1Г' (12)
где AS = S(E0 —ЕХ) — S(E0 —Е2). Учитывая, что энергии подсистемы ?[ и Е2 малы по сравнению с энергией термостата, выражение для AS можно приближенно записать следующим образом:
или, с учетом (8),
Т
Подставляя AS в (12), находим
Р(?1) Е2 — ЕХ ехр( — Ех1кТ)
Р(Е2) ~ ехр кТ ~ ехр (-Е21кТ) '
Итак, мы получаем, что вероятность того, что малая подсистема, находящаяся в тепловом контакте с термостатом при температуре Т, будет иметь энергию Е, пропорциональна экспоненте ехр (—Е/кТ):
Р{Е) ~ ехр . (13)
Формула (13) дает распределение вероятностей для любой физической величины, характеризующей подсистему. При этом в показателе экспоненты играет роль лишь та часть энергии подсистемы, которая зависит от этой величины.
Если, например, в качестве подсистемы взять одну молекулу, то (13) дает распределение для ее координат, скорости, магнитного или электрического момента, и т. д. В частности, рассматривая распределение вероятностей для проекции скорости vx, нужно взять в качестве Е ту часть кинетической энергии, которая зависит от vx, т. е. ^ mv\. В результате сразу приходим к формуле
(12) § 22. При этом коэффициент пропорциональности перед экспонентой получается из условия нормировки: сумма всех вероятностей должна быть равна единице. ^
§ 24. ПРИРОДА НЕОБРАТИМОСТИ ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССОВ
205
• Приведите соображения, обосновывающие выражение (3) для числа микросостояний составной замкнутой системы. При каких условиях это выражение справедливо?
• Как понимается условие теплового равновесия в статистической механике?
• Объясните, почему состоянию теплового равновесия идеального газа в сосуде соответствует распределение молекул поровну между половинами сосуда.
• Как определяются энергия и температура в статистической механике на основе представления о статистическом весе макроскопического состояния системы?
• Поясните, почему энтропия S, определяемая равенством (7), увеличивается при переходе замкнутой системы в состояние термодинамического равновесия.
• Приведите доводы, свидетельствующие о том, что статистические определения энтропии (7) и температуры (8) согласуются с определениями этих величин в термодинамике.
• Поясните, почему в приведенном выводе распределения Гиббса считалось, что вероятность подсистеме иметь энергию Е пропорциональна числу состояний термостата с энергией Е0 — Е.
• Где в выводе распределения Гиббса использовалось предположение о том, что выделенная подсистема много меньше термостата?
• Покажите, как из общего распределения Гиббса (13) получить барометрическую формулу.
§ 24. Статистическая природа необратимости тепловых процессов
