Физика для углубленного изучения 3. Строение и свойства вещества - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Представление о характере распределения вероятностей (2) дает рис. 77, построенный для газа из N= 20 молекул. По оси абсцисс отложено число молекул в одной (например, левой) половине сосуда, а по оси ординат — вероятности соответствующих распределений молекул. Приведенную зависимость вероятностей от п можно
Рис. 77. Вероятность того, что в сосуде, содержащем 20 молекул газа, п молекул находятся в одной половине сосуда, а осталь-
Рис. 78. Та же вероятность в случае, когда сосуд содержит 100 моле-
охарактеризовать плавной кривой — огибающей, которая показана штриховой линией на рис. 77. С увеличением полного числа молекул газа эта кривая становится все более и более острой. Для N= 100 она приведена на рис. 78.
§ 23. ТЕПЛОВОЕ РАВНОВЕСИЕ В СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
199
Таким образом, знание функции распределения вероятностей позволяет не только вычислять средние значения макроскопических параметров, но и находить характерные отклонения этих величин от своих средних значений, дающие представление о величине флуктуаций.
Общие закономерности флуктуаций. Теперь мы можем сделать следующий общий вывод: если полное число молекул в изучаемой системе велико, то флуктуации плотности, соответствующие существенно неоднородному распределению, почти никогда не возникают.
Описанные выше закономерности справедливы не только для флуктуаций плотности, но и для флуктуаций других макроскопических параметров. Если число частиц в системе очень велико, то относительная величина флуктуаций любого параметра очень мала по сравнению со средним значением этого параметра и ею почти всегда можно пренебречь. Поэтому мы обычно не осознаем факта существования флуктуаций, когда имеем дело с большими макроскопическими системами. Но если система достаточно мала, то флуктуации могут быть легко обнаружены и часто имеют большое значение.
Как уже упоминалось, тепловые флуктуации ставят предел чувствительности любых измерительных приборов. При измерении малых значений физических величин или слабых сигналов флуктуации в чувствительном элементе измерительного прибора могут оказаться сравнимыми с измеряемой величиной. Флуктуации, возникающие в самом измерительном приборе, затрудняют измерения и поэтому называются шумами.
• Почему при хаотическом тепловом движении все молекулы макроскопического количества газа не могут самопроизвольно собраться в одной половине сосуда?
• Что такое флуктуации макроскопических параметров? Приведите примеры появления флуктуаций в физическом эксперименте.
• Какие соображения вы можете привести в пользу предположения о равной вероятности каждой молекуле идеального газа оказаться в одной из половин сосуда?
• Как подсчитать вероятность того, что в определенной половине сосуда находится п молекул газа из полного числа N?
• Чему равна сумма вероятностей Рп, даваемых формулой (2), по всем значениям п от 0 до N1
• Как изменяется вид функции распределения этих вероятностей с увеличением полного числа N молекул газа?
• Каковы максимальные значения вероятностей Рп на рис. 77 и 78?
• Как относительная флуктуация макроскопических параметров зависит от размеров системы, т. е. от числа молекул N1
200
V. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
д Статистический подход. На приведенном выше примере расчета вероятностей распределения молекул идеального газа по половинам сосуда можно проиллюстрировать основные идеи Гиббса построения равновесной статистической механики. При этом все макроскопические характеристики рассматриваемой молекулярной модели термодинамической системы должны вводиться без ссылок на термодинамику, и только затем можно найти их термодинамические эквиваленты.
Основное понятие статистического метода — это микроскопическое состояние. Задать его — значит задать механическое состояние системы, т. е. координаты и скорости всех молекул в один момент времени. Но в некоторых случаях достаточно в определение микросостояния включать только часть характеристик отдельных молекул. Так, в приведенном примере мы под микросостоянием фактически понимали только информацию о том, в какой половине сосуда находится каждая молекула. Под макросостоянием в этом случае понимается информация о том, сколько молекул находится в левой, а тем самым и сколько в правой половине сосуда.
Равные вероятности микросостояний. Основной гипотезой в методе Гиббса является предположение о равной вероятности реализации любых возможных микроскопических состояний замкнутой системы, для которой зафиксированы энергия, объем и число частиц. Именно это предположение в рассмотренном выше примере приводило к биномиальному распределению вероятностей Рп. Гипотеза равной вероятности различных микросостояний считается справедливой не только для идеального газа, но и для любых сколь угодно сложных термодинамических систем.
Статистический вес макросостояния. Вероятности реализации различных макросостояний при этом, в отличие от микросостояний, уже не равны друг другу, поскольку каждое макросостояние может быть реализовано своим вполне определенным числом микросостояний. Так, макросостояние, в котором все молекулы находятся в одной (левой) половине сосуда, реализуется единственным микросостоянием, а макросостояние, когда в левой половине находится одна из N молекул, реализуется N различными микросостояниями.
