Физика для углубленного изучения 3. Строение и свойства вещества - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
2mvx-vxt/2l.
Суммирование по всем молекулам. Для нахождения импульса, передаваемого стенке всеми N молекулами газа, нужно сложить результаты действия всех молекул. Силу давления на стенку мы получим, разделив полный передаваемый импульс на время t, а давление р — разделив эту силу на площадь S стенки:
178
V. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Здесь V = SI — объем сосуда, в котором заключен газ, a vix — проекция скорости i-й молекулы на перпендикулярную к стенке сосуда ось х. Обратим внимание на то, что сумма квадратов vjx, деленная на число молекул N, представляет собой среднее значение квадрата проекции скорости одной молекулы:
<»5>»?-• <2)
i = 1
Поэтому формулу (1) можно переписать в виде
р = тг<«5>. (3)
Среднее значение квадрата скорости. Входящую в (3) величину (v2) можно выразить через среднее значение квадрата скорости молекулы (v2). В самом деле, v2 = v\ + v2 + v2. Для средних значений, очевидно, справедливо <и2) = <t>2) + <v2) + <v2>. Так как в состоянии равновесия все направления в газе равноправны, то
<VI) = <V2) = <V2) = J {V2). (4)
Теперь выражение (3) принимает вид
1 mN . г.
Р = з~ <и >, (5)
ИЛИ
P = J mn(v2), (6)
где п = N/V — среднее число молекул газа в единице объема, или концентрация молекул.
Выражение (5) или (6) называют основным уравнением кинетической теории идеального газа. Макроскопический параметр, характеризующий газ в целом, — давление р — выражен здесь через среднее значение микроскопического параметра — квадрата скорости отдельной молекулы.
Идеальный газ в статистической механике и термодинамике.
Рассмотрим подробнее полученное уравнение. В его правой части можно увидеть среднюю кинетическую энергию одной молекулы
<е) = ^ m(v2). (7)
Так как внутренняя энергия идеального газа состоит только из кинетической энергии хаотического теплового движения его молекул, то произведение N(z) и представляет собой внутреннюю энергию U идеального газа из N молекул. Поэтому уравнение (5) можно переписать в виде
2 „ (8)
pV-jU.
§ 21. МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
179
Таким образом, в рассматриваемой статистической модели идеального газа произведение давления на объем равно (с точностью до множителя 2/3) внутренней энергии U.
В термодинамике идеальным газом был назван газ, для которого точно выполняется эмпирическое уравнение Клапейрона—Менделеева. Сравнивая (8) с уравнением Клапейрона—Менделеева
pV = RT, (9)
получаем выражение для внутренней энергии одного моля идеального газа:
u = \rt. (10)
Мы видим, что внутренняя энергия идеального газа пропорциональна термодинамической температуре Г и не зависит от объема. Это значит, что рассмотренная здесь статистическая модель адекватна представлению об идеальном газе, введенному в термодинамике. Эта модель соответствует одноатомному газу, поскольку его молекулы рассматривались как материальные точки, вся кинетическая энергия которых сводится только к энергии поступательного движения. Для двухатомных и многоатомных молекул необходимо было бы учитывать еще и кинетическую энергию их вращения как целого и энергию колебаний входящих в них атомов.
Используя соотношение (10) для внутренней энергии одноатомного газа, можно получить явное выражение для его молярной теплоемкости Су при постоянном объеме:
CV = % = \R. (П)
Видно, что это универсальная постоянная величина, не зависящая от химического состава газа, его молярной массы и других характеристик газа в условиях, когда к нему применима модель одноатомного идеального газа.
Физический смысл температуры. Соотношению (10) можно придать другой вид, если рассматривать не внутреннюю энергию U одного моля газа, а среднюю кинетическую энергию, приходящуюся на одну молекулу <е) = U/N:
3
) =
где универсальная постоянная
<е>=|*7\ (12)
"а
равная отношению универсальной газовой постоянной R к постоянной Авогадро NА, называется постоянной Больцмана в честь выдающегося австрийского физика JI. Больцмана, основоположника теории кинетических явлений.
180
V. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Формула (2) позволяет установить физический смысл термодинамической температуры Т — физической величины, которая была введена ранее феноменологически. Этот макроскопический параметр, как видно из (12), характеризует среднее значение кинетической энергии хаотического теплового движения одной молекулы в состоянии термодинамического равновесия.
