Физика для углубленного изучения 3. Строение и свойства вещества - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Видно, что передаваемый по нормали импульс за время t не зависит от направления движения молекулы.
Для подсчета импульса, передаваемого стенке по нормали всеми молекулами газа, нужно сложить результаты действия всех молекул. Когда этих молекул много и они движутся хаотически, любой участок стенки испытывает одинаковое воздействие, и для нахождения давления р нужно просто разделить суммарный передаваемый по нормали импульс на время t и площадь поверхности сосуда 4лR2:
P = —3yjv]. (20)
4кД ". '
Здесь сумму квадратов скорости всех молекул можно заменить произведением полного числа молекул N на среднее значение квадрата их скорости (v1):
mN {v ) 4jcR3
(21)
Учитывая, что объем сферического сосуда равен (4/3) л Л3, видим, что (21) совпадает с полученной ранее формулой (5).
§ 21. МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
185
Отметим, что в этом выводе коэффициент 1/3 в выражении для р появляется не в результате усреднения квадрата проекции скорости v\, а как прямое следствие трехмерности физического пространства.
О характере столкновения со стенкой. Во всех приведенных выводах основного уравнения предполагалось, что столкновение молекулы со стенкой сосуда происходит по законам упругого удара.
На самом деле это предположение также является несущественным. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим газ в прямоугольном сосуде (рис. 69), в котором стенки А и В обладают разными свойствами: удар молекул газа о стенку А абсолютно упругий, а о стенку В — неупругий. Если бы давление газа на эти стенки было различным, то в отсутствие трения о подставку сосуд с газом пришел бы в движение под действием внутренних сил. Так как сосуд в движение не приходит, мы должны заключить, что в состоянии теплового равновесия давление газа не зависит от характера взаимодействия его молекул со стенками.
Объясняется это тем, что в стационарном состоянии молекулы не накапливаются на стенках: сколько молекул прилипает к стенке при неупругом ударе, столько же от нее и улетает, причем в среднем с такой же скоростью, так как температуры стенки и газа в состоянии теплового равновесия одинаковы.
В отличие от предположений о характере столкновений молекул между собой и со стенкой сосуда, принципиально важным оказывается допущение о том, что газ идеальный, т. е. его молекулы настолько малы, что их полный собственный объем мал по сравнению с объемом занимаемого газом сосуда, и что молекулы взаимодействуют только во время столкновений. Только для газа с такими свойствами и справедливо уравнение (6). Для реальных газов оно выполняется лишь приближенно. ^
• В чем специфика молекулярных моделей, используемых в статистической механике, в сравнении с физическими моделями в механике макроскопических тел и электродинамике?
• Поясните, почему при выводе основного уравнения кинетической теории газа учет столкновений между молекулами не влияет на окончательный результат.
• Объясните качественно, почему в сферическом сосуде импульс, передаваемый молекулой по нормали к стенке за большое время, не зависит от
Рис. 69. Стенки сосуда А и В разные: удар молекул о стенку А абсолютно упругий, о стенку В — неупругий
186
V. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
угла падения на стенку. Рассмотрите также предельный случай скользящего падения, соответствующий движению молекулы по окружности радиуса R.
• Рассмотрите неупругое столкновение молекулы со стенкой сосуда. Какие предположения о механизме взаимодействия со стенкой необходимы в этом случае, чтобы модель описывала состояние теплового равновесия?
• В некоторых физических теориях рассматривается модель двумерного идеального газа, молекулы которого могут двигаться только в одной плоскости. Выведите основное уравнение кинетической теории такого газа, понимая под его давлением силу, действующую на единицу длины границы.
§ 22. Статистические распределения
Полный хаос, которым характеризуется тепловое движение молекул, имеет свои законы.
Законы хаоса. Несмотря на то, что каждая молекула газа при столкновениях с другими молекулами и со стенками сосуда все время изменяет свою скорость, макроскопическое состояние газа в термодинамическом равновесии не изменяется. Это позволяет считать, что в газе существует некоторое в среднем неизменное во времени распределение молекул по скоростям. Действительно, как мы видели, при данной температуре среднее значение квадрата скорости молекул имеет определенное значение. Однако среди молекул в данный момент времени есть и быстрые, и медленные, и можно поставить вопрос: сколько в среднем в газе молекул имеет то или иное значение скорости? Другой представляющий интерес вопрос — как найти среднюю скорость, не зная значений скорости отдельных молекул?
Определенное распределение молекул газа по скоростям устанавливается всегда, когда газ приходит в равновесие, независимо от того, каково было начальное состояние системы. Если даже в откачанный сосуд впустить струю газа, в которой все молекулы имеют почти одинаковые по модулю и направлению скорости, то спустя некоторое время в результате столкновений молекул направленное движение в газе перейдет в хаотическое, при котором все направления скоростей будут встречаться одинаково часто, а в распределении молекул по модулю скорости будет наблюдаться определенная закономерность.
