Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
m(2v)+MV1 = (m-{-M)v. (4)
Кинетическая энергия игрушки после разгона равна т(2и)2/2, а кинетическая энергия Земли есть MV\I2. Изменение полной кинетической энергии
дд=тр^+ Anj_(m + .(5)
Выразим Vi из уравнения (4) и подставим в (5):
4? = 3^. + 4[(l-i)V-0']. (6)
После простых алгебраических преобразований выражение (6) приводится к виду
Л?-^(' + ж> <7>
Сравнивая правую часть (7) с формулой (3), видим, что и в этом случае изменение кинетической энергий всей системы равно потенциальной энергии пружины W.
Изменение кинетической энергии игрушки при разгоне в этой системе отсчета действительно в три раза больше, чем изменение этой энергии в системе отсчета, связанной с Землей. Однако теперь изменение кинетической энергии Земли такого же порядка, что и изменение энергии игрушки, в отличие от изменения энергии Земли в исходной системе отсчета, где оно было ничтожным. В новой системе отсчета колеса игрушки при разгоне тормозят движение Земли, и ее кинетическая энергия убывает. Увеличение кинетической энергии игрушки в этой системе отсчета происходит не только за счет потенциальной анергии пружины, но и за счет уменьшения кинетической энергии Земли.
Разобранный пример наглядно показывает, с какой осторожностью нужно подходить к вопросу о том, что сущест-
17. ФАНТАСТИЧЕСКИЙ КОСМИЧЕСКИЙ ПРОЕКТ 75
венно в рассматриваемом явлении, а чем можно пренебречь. Использовать можно любую систему отсчета, и при точном решении задачи выбор системы отсчета безразличен. Однако при нахождении приближенного решения пренебрежения, допустимые в одной системе отсчета, "могут оказаться совершенно непригодными в другой. Так, в рассмотренном примере можно было пренебрегать изменением кинетической энергии Земли и считать, что изменение энергии автомобиля равно энергии пружины при использовании системы отсчета, связанной с Землей. Если пользоваться другой системой отсчета, то и при приближенном решении пренебрегать изменением кинетической энергии Земли нельзя, несмотря на то, что изменение скорости Земли, как легко убедиться, одинаково и в той, и в другой системе отсчета.
Обсудим теперь, что изменится в рассуждениях, если учитывать вызываемое игрушкой вращение Земли. В правой части формулы (2) кроме кинетической энергии поступательного движения Земли будет присутствовать еще и кинетическая энергия вращения Земли. Она будет такого же порядка величины, что и кинетическая энергия поступательного движения Земли. Поэтому в системе отсчета, где Земля была неподвижной, ею, как и энергией поступательного движения Земли, можно пренебречь и считать, что вся потенциальная энергия пружины превращается в кинетическую энергию игрушки.
Во второй системе отсчета (где скорости игрушки и Земли сначала равны v) кинетическая энергия вращения Земли будет такой же, как и в первой системе отсчета, поскольку приобретенная Землей угловая скорость со одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Поэтому, в отличие от кинетической энергии поступательного движения Земли, энергией вращения можно пренебречь и во второй системе отсчета. А
17. Фантастический космический проект. Хорошо известно, что для совершения межпланетного путешествия находящемуся на поверхности Земли космическому кораблю необходимо сообщить начальную скорость 11,2 км/с (вторая космическая скорость). Однако в случае запуска космического корабля не с поверхности Земли, а через туннель, прорытый насквозь через центр Земли, получается потрясающий результат. Оказывается, что космическому кораблю, свободно падающему в таком туннеле, достаточно сообщить в тот момент, когда он проходит через центр Зем-
76
II. ДИНАМИКА И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
ли, дополнительную скорость всего лишь в 5,8 км/с, что составляет лишь 52 % от второй космической скорости. Тогда при выходе из туннеля он будет иметь скорость как раз 11,2 км/с и сможет совершить космическое путешествие. Это значит, что для запуска одного и того же корабля потребуется меньшая ракета и расход топлива будет менее значительным. Объяснить, почему возможен такой выигрыш.
Д Прежде всего выясним, какую скорость приобретет ракета при свободном падении сквозь туннель до центра Земли. Это можно сделать с помощью закона сохранения энергии, только сначала нужно выяснить, как различаются между собой значения потенциальной энергии на поверхности Земли и в ее центре.
Будем считать, что Земля представляет собой сплошной однородный шар. Выясним, как действующая на тело
сила тяжести зависит от его положения в туннеле. Очевидно, что в центре Земли эта сила равна нулю. Это непосредственно следует из симметрии картины. Найти силу тяжести в произвольной точке можно точно таким же способом, каким определяется напряженность электростатического поля внутри равномерно заряженного шара.
Разобьем мысленно земной шар на тонкие сферические концентрические слои (рис. 17.1). По принципу суперпозиции полная сила, действующая на тело в туннеле, равна векторной сумме сил, действующих на него со стороны отдельных слоев. Легко убедиться в том, что сила тяготения, действующая со стороны любого слоя на тело, находящееся внутри этого слоя, равна нулю. Это сразу видно из построения, показанного на рис. 17.2. Части оболочки с
