Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
При решении задачи мы предполагали, что траектория метеорита не задевает Землю. Уравнения (2) и (3) позволяют найти условие, которому должны удовлетворять прицельное расстояние I и скорость метеорита на бесконечности va, чтобы это действительно было так. Полагая в этих уравнениях минимальное расстояние г до центра Земли равным радиусу Земли R и исключая из них v, находим
Lb = RVl+2gR/v‘e.
При меньших значениях прицельного расстояния метеорит упадет на Землю.
Рассмотрим некоторые частные случаи.
1. Наибольшее значение угла отклонения 0тах получается из (4) при наименьшем возможном (при заданной скорости v0) значении прицельного расстояния /min, выражение для которого можно переписать несколько иначе, воспользовавшись тем, что 2gR равно квадрату второй космической скорости уи:
Рис. 21.2. Применение второго закона Кеплера к гиперболической орбите
¦ R V1 + (vn!v0f
(/П11П и 0max соответствуют траектории, почти касающейся земного шара). Таким образом,
6max = 2arctg
2 V 1+(оцМ)«
(5)
Если скорость на бесконечности мала по сравнению со второй космической скоростью: Уо'СУц, то в знаменателе (5)
92
II. ДИНАМИКА И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
под корнем можно пренебречь единицей:
0щах « 2 arctg (о„/2у0),
т. е. 0тах -> л при vjvn -> 0: при малой начальной скорости и надлежащем выборе ее направления (т. е. таком, чтобы метеорит все-таки прошел мимо Земли) направление скорости метеорита после облета Земли из*; менится практически на противоположное.
2. Угол отклонения метеорита будет мал, как видно из (4), при выполнении неравенства gR2/lvl<^l. В этом случае в (4) тангенс можно заменить его аргументом:
(6)
Рис. 21.3. К вычислению малого угла отклоне-метеорита
ния
V J "В Правая часть этого выражения представля-ет собой отношение абсолютной величины потенциальной энергии метеорита на расстоянии I от центра Земли mgR^tl и его кинетической энергии на бесконечности mv\l2.
Интересно отметить, что приближенный результат (6) для отклонения на малый угол с точностью до числового множителя порядка единицы можно получить совершенно элементарно. Рассмотрим относящийся к этому случаю рис. 21.3. Грубо можно считать, что взаимодействие метеорита с Землей существенно только на ближайшем к Земле участке траектории АВ длиной порядка /: другие участки почти прямолинейны, так как там сила земного притяжения практически параллельна скорости метеорита. В рассматриваемом движении модуль скорости практически не изменяется и продолжительность действия силы земного тяготения на метеорит можно принять равной At^lfv0. Силу приближенно можно положить равной mgRill2. Таким образом, приращение импульса метеорита Ар в направлении, перпендикулярном направлению его движения, составляет по порядку величины
Ap=FAt^mgR2/lv0.
Отсюда для угла отклонения 0 легко получить
^?- = -^?- = 1^1 а р пщ у/ '
0:
п. РАССЕЯНИЕ а-ЧАСТИЦ
93
22. Рассеяние а-частиц. а-частица, летевшая со скоростью v0, упруго рассеивается на неподвижном ядре и изменяет направление движения на 90°. Определить скорость ядра после удара.
Л Столкновение а-частицы с ядром можно рассматривать как абсолютно упругий удар, при котором выполняются законы сохранения энергии и импульса. Пусть т и
Рис. 22.1. Сохранение импульса при рассеянии а-частицы на прямой угол неподвижным ядром
М — массы а-частицы и ядра, a v и V — их скорости после столкновения. Тогда законы сохранения энергии и импульса записываются в виде
muo mv2 . MV2
~ = — + ~2~’ W
mv0 = mv + М V. (2)
Равенству (2) соответствует параллелограмм импульсов на рис. 22.1. Так как по условию а-частица рассеялась на 90°, то треугольники на этом рисунке прямоугольные. Направление движения ядра после удара составляет некоторый угол ф с первоначальным направлением движения а-час-тицы. Из рис. 22.1 видно, что
tg tp=u/u0. (3)
Для нахождения скорости а-частицы и ядра после удара применим к прямоугольному треугольнику на рис. 22.1 теорему Пифагора:
M2V2 — т.2 (vl 4- и2). (4)
Подставляя отсюда V2 в уравнение закона сохранения энер-
гии (1), получаем
(б)
Подставляя это значение v2 в равенство (4), находим
птойг (6)
94
И. ДИНАМИКА И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Выражение (3) для tg ф с учетом (5) принимает вид
»8Ч>- /Iff- СТ
Из формулы (5) или (7) видно, что рассеяние а-частицы на 90° при столкновении с неподвижным ядром возможно только в том случае, когда ее масса меньше массы ядра: т<СМ. Условие задачи не может быть выполнено, если а-частицы рассеиваются на ядрах водорода, дейтерия, трития или гелия.
