Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 17.1. Сила тяжести в точке А равна силе притяжения к заштрихованной части земного шара
Рис. 17.2. Силы тяготения, действующие на массу т со стороны участков т* и т2, уравновешиваются
17. ФАНТАСТИЧЕСКИЙ КОСМИЧЕСКИЙ ПРОЕКТ 77
массами тi и т2 притягивают тело массы т с силами, пропорциональными этим массам и обратно пропорциональными квадратам расстояний гг и г2. Но сами массы nii и т2, как видно из рисунка, пропорциональны квадратам соответствующих расстояний. В результате силы тяготения, действующие со стороны выделенных участков сферического слоя, уравновешиваются, что и доказывает сделанное утверждение. Именно таким рассуждением отсутствие силы тяготения внутри сферической оболочки было установлено еще Ньютоном.
Таким образом, на тело в туннеле в точке А (рис. 17.1) действует сила тяжести только со стороны заштрихованного шара, на поверхности которого находится это тело. Так как
Рис. 17.3. Зависимость силы тяжести и потенциальной энергии от расстояния до центра Земли
масса заштрихованного шара пропорциональна кубу его радиуса г, а сила тяготения пропорциональна массе (т. е. г3) и в то же время обратно пропорциональна квадрату радиуса, то эта сила пропорциональна радиусу шара:
Fcor. Так как на поверхности Земли при r—R сила тяжести равна mg, то на произвольном расстоянии г от центра
при r<R имеем
F(r)=mgr/R. (1)
При r>R сила тяжести убывает обратно пропорционально квадрату расстояния; график зависимости силы тяжести от г показан на рис. 17.3.
Теперь легко найти выражение для потенциальной энергии тела, находящегося в туннеле. Для этого мысленно поднимем тело из центра Земли на расстояние г, перемещая его равномерно. Очевидно, что для этого внешняя сила в каждой
78
II. ДИНАМИКА И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
точке должна быть равна силе тяжести F(r) и противоположно направлена. Работа этой силы, равная площади заштрихованного треугольника mgrt/2R, определяет изменение потенциальной энергии A?n:
Обычно потенциальную энергию принимают равной нулю, когда тело находится на бесконечно большом расстоянии от Земли (как, например, в формуле (3) из введения к этому разделу). В этой задаче удобно принять потенциальную энергию равной нулю, когда тело находится в центре Земли. Тогда с помощью формулы (2) найдем, что при г <R
На поверхности Земли потенциальная энергия при этом будет равна mgR/2, а на бесконечно большом расстоянии от Земли 3mgR/2. График зависимости потенциальной энергии от г также показан на рис. 17.3.
Формула (3) позволяет найти скорость ракеты v в центре Земли при свободном падении с поверхности. Приравнивая потенциальную энергию на поверхности mgR/2 кинетической энергии ракеты в центре Земли ти1/2, получаем
Видно, что эта скорость равна первой космической скорости для спутника, движущегося вблизи поверхности Земли (0(=7,9 км/с).
Теперь предположим, что в тот момент, когда ракета пролетает через центр Земли, срабатывают двигатели, которые изменяют ее скорость на Ди. Тогда, подлетев к поверхности Земли, на выходе из туннеля ракета будет обладать скоростью I»!, которая находится с помощью закона сохранения энергии:
Потребуем, чтобы была равна второй космической скорости vll = \r2gR. Тогда для необходимого приращения скорости Ди из уравнения (5) после подстановки в него
(3)
v = VgR-
(4)
(5)
(6)
17. ФАНТАСТИЧЕСКИЙ КОСМИЧЕСКИЙ ПРОЕКТ 79
Взяв корень со знаком плюс, получаем значение Ди= = (КЗ—l)Kg/?=5,8 км/с. Второй корень соответствует изменению направления скорости ракеты в результате срабатывания двигателей на противоположное (т. е. торможению с последующим разгоном) и не представляет интереса в рассматриваемом примере.
Естественно задуматься над вопросом, за счет чего получается такой «выигрыш» в энергии при использовании туннеля. При сгорании топлива в двигателях ракеты определенная часть его внутренней энергии превращается в кинетическую энергию ракеты и выброшенных газов. Если до срабатывания двигателей ракета была неподвижна на поверхности Земли, то в силу закона сохранения импульса некоторая (и немалая!) доля высвобождающейся энергии обязательно перейдет в кинетическую энергию газов. Если же двигатели срабатывают в тот момент, когда ракета уже имеет некоторую скорость, то передаваемая газам доля кинетической энергии может быть меньше. Например, если при движении в туннеле скорость истечения газов из сопла двигателя ракеты будет равна скорости ракеты относительно Земли, то скорость выброшенных газов относительно Земли будет равна нулю. Другими словами, в системе отсчета, связанной с Землей, выброшенные газы вообще не будут обладать кинетической энергией, и вся высвобождающаяся механическая энергия целиком «достается» ракете. Ракете же достанется и кинетическая энергия топлива, которой оно обладало до срабатывания двигателей.
