Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
vl + Avl—2v\ = vl-~—2vt-^,
откуда
A0i = t>i(-g—2-? + l). (8)
Таким образом,
^v*~vo (if — 1)-
Подставляя в эту формулу r=R+h, получаем
До2=о0 h/R. (10)
Сравнивая формулы (5) и (10), находим, что при использовании первого способа перехода на траекторию приземления с низкой круговой орбиты (h<^R) необходимая допол-
нительная скорость Ду в 4 раза меньше.
Скорость в точке А, которую необходимо погасить для осуществления мягкой посадки, при использовании первого способа меньше. Это непосредственно следует из закона сохранения энергии при сравнении этих способов. Действительно, так как изменения потенциальной энергии оди-
86
II. ДИНАМИКА И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
наковы при обоих способах спуска, то кинетическая энергия в точке А больше в том случае, в котором она больше сразу после срабатывания тормозного двигателя. Таким образом, и с этой точки зрения первый способ является предпочтительным. Более высокая скорость входа в плотные слои атмосферы, характерная для второго способа,
----- предъявляет более жесткие
-О+Ауг требования к теплозащитному
экрану корабля. Преимущества первого способа становятся совсем очевидными, если речь идет о посадке на лишенную атмосферы планету (например, на Луну), где скорость перед посадкой должна быть погашена двигателем.
В какой точке круговой орбиты должен сработать тормозной двигатель, чтобы приземление произошло в заданной точке А? При первом способе снижения эта точка, как мы видели, лежит на прямой, проходящей через точку А и центр Земли (точка В на рис. 20.1). А как при втором способе? На рис. 20.1 точка С, где срабатывает двигатель, расположена на прямой, проходящей через центр Земли и образующей прямой угол с радиусом Земли, проведенным в точку А. И это действительно так. Убедиться в этом можно, например, следующим образом.
Рассмотрим треугольник СОО' на рис. 20.2, который получается, если точку С соединить с фокусами эллиптической траектории О и О'. Согласно первому закону Кепле-
ра фокус О совпадает с центром Земли. Вычислим стороны s и d этого треугольника, используя свойства эллиптической орбиты, по которой движется корабль после срабатывания двигателя. При этом окажется, что d2~hr2=s2, т. е. для треугольника СОО' справедлива теорема Пифагора, и, следовательно, он прямоугольный.
Сторона d, как видно из рис. 20.2, равна разности г' и
R:
d=r'—R. (11)
Рис. 20.2. К расчету точки срабатывания тормозного двигателя
20. ВОЗВРАЩЕНИЕ С ОРБИТЫ
87
Сумма расстояний от любой точки эллипса до фокусов есть постоянная для данного эллипса величина. Приравнивая суммы расстояний до фокусов от точек С и Е, получаем
Таким образом, для нахождения d и s нужно вьпислять г', т. е. расстояние от центра Земли до апогея элл:. ::иче-ской орбиты. Это можно сделать, используя за:;он сохранения энергии и постоянство секторной скорости. Г'жраспи-вая эти величины в точках С и Е, получаем
Подставим в уравнение (14) v' из (13), Ди2 из (9) и заменим, как и раньше, gR2 на v\r. В результате получим
Это квадратное уравнение для г' имеет два корня. Один корень r'—R соответствует перигею орбиты, т. е. точке А. Этот корень появляется потому, что правая часть уравнения (13) имеет одинаковый вид и для апогея, и для перигея, а уравнение (14) справедливо для всех точек траектории. Второй корень
соответствует искомому расстоянию до апогея.
Теперь остается только подставить г' из (16) в формулы
(11) и (12) и убедиться, что d2+r2=s2.
Глядя на рис. 20.1, легко сообразить, что для низкой круговой орбиты, когда эллиптические траектории спуска мало отличаются от круговой, возвращение на Землю по первому способу занимает приблизительно половину оборота вокруг Земли, а по второму способу — четверть.
В заключение сделаем следующее замечание. При нахождении добавочной скорости Ди2 мы взяли только положительный корень уравнения (8). А имеет ли физический смысл отрицательный корень этого уравнения
s+r=r'+R,
откуда
s=r'+R—г.
(12)
rv0-=r’v', т (t/p -f- At>2) mgR1 _ _ mv'2
2 r 2
mgR2
(15)
r'=Rr/(2R—r)
(16)
Д v2=—v0(r/R—1)?
(17)
88
П. ДИНАМИКА И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Знак минус перед этим выражением мржет означать, только то, что эта добавочная скорость направлена не к центру Земли, а в противоположном направлении — от центра Земли. Какая при этом получится траектория? Имеет ли она какое-либо отношение к решаемой задаче, т. е. к нахождению траектории снижения?
Взглянем еще раз на рис. 20.1. Эллипс, соответствующий второму способу снижения, пересекается с исходной круго-
