Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
mgl( 1—cos a)=mv\!2. (2)
Рис. 12.2. Падающий стержень Подставляя v\ из (2) в (1), получим уравнение для определения а, которое дает cos а=2/3. Таким образом, свободное движение шарика начинается на высоте 2//3 со скоростью
= У 2gl/3. Горизонтальная проекция скорости шарика
vT = Vy cos а = (2/3) V 2glj 3 (3)
в дальнейшем остается неизменной.
Рассмотрим теперь момент удара шарика о горизонтальную плоскость. Модуль скорости v в этот момент будет таким же, как при свободном падении с высоты I: и=У 2gl. Направление скорости проще всего найти, выражая синус угла ф, образуемого вектором скорости v с вертикалью (рис. 12.2), как отношение vjv:
sin ф = vTlv — 2/3 У 3 — 0,385, откуда а=22°40'.
Если бы требовалось определить не только угол ф, но еще и скорость или место падения шарика на плоскость, то было бы необходимо задать-длину стержня I. Отметим, что разобранная задача имеет много общего с широко известной задачей о соскальзывании шайбы с полусферы или полуцилиндра. ^
13. МЕРТВАЯ ПЕТЛЯ
61
13. Мертвая петля. Небольшое тело скользит без трения по наклонному желобу, который затем переходит в круговую «мертвую петлю» радиуса R (рис. 13.1). С какой минимальной высоты /г должно спускаться тело без начальной скорости, чтобы оно не оторвалось от желоба?
Рис. 13.1. «Мертвая петля»
Рис. 13.2. «Мертвая петля» с вырезом
Какова должна быть начальная высота для того, чтобы тело смогло преодолеть «мертвую петлю» с симметрично вырезанной верхней частью (рис. 13.2)?
А Движение тела под действием одной лишь силы тяжести, как известно, происходит по параболической траектории. Поэтому для движения по круговому желобу, расположенному в вертикальной плоскости, кроме силы тяжести на тело должны действовать и другие силы. В отсутствие трения такой силой может быть только сила реакции N желоба, направленная по нормали к его поверхности (рис. 13.3). Очевидно, что тело не отрывается от желоба, пока эта сила не равна нулю. Если происходит отрыв
тела от желоба, то в точке отрыва сила N обращается в нуль. После отрыва от желоба движение тела происходит только под действием силы тяжести и тело движется по параболе.
Предположим, что тело, не отрываясь, движется по желобу, и вычислим силу реакции N желоба в произвольной точке, положение которой определяется углом со (рис. 13.3). Составим уравнение второго закона Ньютона для этой точки:
Рис. 13.3. Силы, действующие на тело
mg + N — ma.
(1)
62
II. ДИНАМИКА И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Для нахождения модуля силы N спроецируем уравнение
(1) на радиальное направление. Поскольку нормальная составляющая ускорения равна v2/R, из уравнения (1) имеем
, л г tnv2
mg cos a + N = (2)
откуда
N =^mg[~—cosa). (3)
В этом выражении скорость v тоже зависит от угла а, и ее нужно найти для определения N. Это можно сделать, используя проекцию уравнения (1) на касательное направление. Однако такой путь требует умения интегрировать.
Поэтому для нахождения скорости удобнее использовать
закон сохранения механической энергии.
Поскольку сила реакции желоба в любой точке перпендикулярна скорости тела и, следовательно, работы не совершает, полный запас механической энергии остается неизменным. В начальной точке тело обладает только потенциальной энергией, равной mgh. В рассматриваемой точке механическая энергия складывается из кинетической энергии mu2/2 и потенциальной энергии mg/?(l-fcos а) (рис. 13.3). Поэтому
mgh=mv2/2JrmgR(l+cos а), (4)
откуда
t>*=2 gR(h!R—1—cosa). (5)
Подставляя найденное значение скорости в формулу (3), находим силу реакции N:
N = mg(^ 2-^-—2—3cosay (6)
Из выражения (6) видно, что наибольшее значение сила N имеет в нижней точке желоба, которой соответствует а=л, cos a=—1:
Nm!lx = mg(2h/R+l). (7)
Из (7) следует, что сила, с которой тело давит на желоб в нижней точке, больше, чем сила тяжести mg. Только в том случае, когда начальная высота h равна нулю (т. е. тело просто лежит в нижней точке желоба), оно давит на желоб с силой, равной mg.
Из выражения (6) также видно, что сила N монотонно убывает по мере подъема тела по желобу и достигает наи-
13. МЕРТВАЯ ПЕТЛЯ
63
меньшего значения в высшей точке, которой соответствует а=0, cosct=l:
Nmin = mg(2h/R—5). (8)
Если тело не отрывается от желоба в верхней точке, то оно не оторвется и ни в какой другой. Поэтому формула
(8) позволяет найти ту минимальную начальную высоту
ктш, при которой тело совершает полный оборот, не отрываясь от желоба. Полагая в (8) JVmin=0, находим
Ат1п = 5Я/2. (9)
