Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бутиков Е.И. -> "Физика в примерах и задачах" -> 31

Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.

Бутиков Е.И., Быков А.А., Кондратьев А.С. Физика в примерах и задачах — М.: Наука, 1989. — 463 c.
Скачать (прямая ссылка): fizikavpremerahizadachah1989.pdf
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 169 >> Следующая


E„(R)=—mgR,

а потенциальная энергия на орбите

Ea(r)=—mgR2lr.

Следовательно, при выводе спутника на орбиту ему была сообщена потенциальная энергия

En=En(r)-En(R)=mgR (1 -R/r). (2)

Составляя отношение (1) и (2), находим

EJEK=2 (r-R)/R.

Но г — R равно высоте орбиты Н над поверхностью Земли. Итак,

EJEK=2H/R,

т. е. отношение сообщенной потенциальной энергии к сообщенной кинетической пропорционально высоте орбиты. А

20. Возвращение с орбиты. Космический корабль движется по круговой орбите. Для перехода на траекторию при-
20 ВОЗВРАЩЕНИЕ С ОРБИТЫ

83

земле к и я кораблю сообщают дополнительную скорость До включением тормозного двигателя на короткое время. Рассмотреть два способа перехода на траекторию приземления: 1) дополнительная скорость сообщается в направлении, противоположном орбитальной скорости; 2) дополнительная скорость сообщается вертикально вниз, т. е. в направлении на центр Земли. Какой способ выгоднее энергетически? Исследовать также предельный случай возвращения с низкой круговой орбиты, высота которой ft над поверхностью Земли много меньше радиуса Земли R (h<^R).

ЛСообщение дополнительной скорости До переводит корабль с круговой орбиты на эллиптическую. Один из фокусов эллипса, в соответствии с первым законом Кеплера, находится в центре Земли.При любом из способов перехода на траекторию приземления дополнительная скорость будет наименьшей, если эллипс только касается земной поверхности (точнее — границы плотных слоев атмосферы), а не пересекает ее. В самом деле, при таком условии требуется наименьшее «искажение» первоначальной круговой траектории. На рис. 20.1 выбранная точка приземления обозначена буквой А. Эта точка является перигеем эллиптической траектории спуска.

При первом способе включение двигателя изменяет только модуль, но не направление скорости. Поэтому в точке, где срабатывает тормозной двигатель, и исходная круговая, и получившаяся эллиптическая траектория спуска имеют общую касательную, направленную вдоль вектора скорости. Глядя на рис. 20.1, нетрудно сообразить, что эта точка является апогеем эллиптической траектории и, следовательно, лежит на продолжении прямой, проходящей через перигей (точку А) и центр Земли.

При втором способе дополнительная скорость До сообщается в направлении, перпендикулярном круговой орбите, и, следовательно, при этом изменяется как модуль,

Рис. 20.1. Возможные траектории снижения с круговой орбиты в точку А на поверх-ност и
84

II. ДИНАМИКА И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

так и направление орбитальной скорости. Это означает, что эллиптическая траектория спуска пересекает круговую орбиту в точке, где срабатывает тормозной двигатель (точка С на рис. 20.1).

Для определения необходимой дополнительной скорости Ду в каждом из этих случаев воспользуемся законом сохранения энергии и вторым законом Кеплера, согласно которому при движении по орбите секторная скорость неизменна. Уравнения, выражающие эти законы, для первого способа можно записать в виде

где v=v0—Ay* — скорость в апогее (в точке В рис. 20.1), 1>0 — скорость на круговой орбите, г — радиус круговой орбиты, — скорость в точке приземления А. Подставляя Vi из (2) в (1) и перегруппировывая члены, получим

Рассматривая в левой части уравнения (3) разность квадратов (1—r2/R2) как произведение (1+/7/?)(1—r/R) и сокращая правую и левую части на (1—r/R), получаем

В случае низкой круговой орбиты (h<gfi) эту точную формулу можно приближенно записать в более простом виде. Преобразуем корень в правой части (4), подставляя вместо г сумму радиуса Земли R и высоты круговой орбиты h

Подставляя это выражение в формулу (4), получаем

(1)

(2)

rv = Rvlt

(3)

Учитывая, что V gR*/r есть скорость корабля на круговой орбите и0, и подставляя у=у0—Аи1( находим

(г=Л+А):

/ттэт = /:

1+(Я+А)/Я

2

2+h/R Y~l+h/2R

Avi^v Ji/4R.

(5)
20. ВОЗВРАЩЕНИЕ G ОРБИТЫ

85

Перейдем к нахождению дополнительной скорости Ди2 при втором способе перехода на траекторию приземления. Прежде всего заметим, что при сообщении кораблю дополнительной скорости в направлении на центр Земли его секторная скорость не изменяется, поэтому в любой точке эллиптической траектории спуска секторная скорость будет такой же, как и на первоначальной круговой орбите, т. е. равной ги0. Запишем это условие для точки приземления Л, скорость в которой обозначим через vt:

rv0~Rv2. (6)

Вместе с уравнением закона сохранения энергии

т(vl + Avl) mgR* _ mvt ^

получаем систему уравнении относительно неизвестных Vi и До2. В уравнении (7) учтено, что дополнительная скорость До2 перпендикулярна скорости на круговой орбите и квадрат результирующей скорости определяется по теореме Пифагора (рис. 20.1). Подставляя и2 из (6) в уравнение (7), учитывая, что скорость на круговой орбите и0=КgR2!r, и выражая через v0 последнее слагаемое в правой части (7), получаем
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 169 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed