Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
vx——all2 , ах=0; vv—0, ау=—со2/. (9)
В точке А скорость вспомогательного движения у=со//2, а ускорение направлено по нормали к траектории и равно по
модулю а=со2/. Так как ускорение связано с радиусом кривизны траектории R соотношением a—vVR, то для радиуса кривизны эллипса в точке А получаем
R—v2la—ll4. (10)
Таким образом, дугу эллипса вблизи точки А можно рассматривать как часть окружности радиусом И4, показанной штриховой линией на рис. 14.3.
Подставим найденные значения скорости движения шарика из формулы (5) и радиуса кривизны R из (10) в уравнение второго закона Ньютона (3). В результате для силы натяжения нити найдем
Рис. 14.3. Радиус кривизны эллипса в точке А равен //4
T—2mv\U—5mg.
(11)
14. СВЯЗАННЫЕ ШАРИКИ
69
Силу натяжения нити Т при ее вертикальном положении можно найти и короче, не определяя радиуса кривизны траектории. Для этого достаточно сообразить, что оба шарика участвуют в сложном движении: движение по окружности радиуса U2 вокруг центра нити складывается с движением этого центра по вертикали. Поэтому ускорения шариков «1 и а2 равны суммам ускорений а[ и а2, связанных с движением по окружности, и ускорения а0 центра
Рис. 14.4. Ускорение каждого из шариков представляет собой сумму ускорения а0 середины нити и ускорений а[ и аг> связанных с движением по окружности
V
аг=0 777777777Ш
О*
п аг
нити. При вертикальном положении нити все эти ускорения направлены по вертикали (рис. 14.4). Модули ускорений а[ и а'2 одинаковы и равны v\l(ll2). Нижний шарик все время движется по горизонтали, поэтому при вертикальном положении нити его полное ускорение а2 равно нулю. Из рис. 14.4 видно, что при этом a0=a'2=vl/(l/2). Поэтому ускорение верхнего шарика
fli=aI+ao—4v\/l. (12)
Записывая уравнение второго закона Ньютона для верхнего шарика
Т+mg=mai
и подставляя сюда ускорение аг из формулы (12) и скорость Vi из формулы (5), приходим к прежнему выражению (11) для силы натяжения нити.
Из формулы (11) следует, что сила натяжения нити не обратится в нуль (7">0), если начальная скорость шарика v0 удовлетворяет условию
vl>2,5 gl.
(13)
70
II. ДИНАМИКА И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Выясним теперь, при каком условии нижиий шарик не будет отрываться от поверхности, В начальный момент па неподвижный шарик действует сила реакции поверхности, равная mg. При движении другого шарика вверх, когда нить образует некоторый угол с горизонтом, эта сила убывает, так как появляется вертикальная составляющая силы натяжения нити. Для того чтобы шарик не оторвался от поверхности, необходимо, чтобы вертикальная составляющая силы натяжения не достигала бы значения, равного mg, даже при вертикальном положении нити. Таким образом, шарик не оторвется, если вычисляемое по формуле (11) значение Т не превышает mg:
2mvl/l—5mg < mg,
откуда для максимального допустимого значения начальной скорости получаем
vt<3gl, (14)
Подведем итоги. Если начальная скорость шарика и0 лежит в интервале
2,5gl <vl< 3gl,
то нить при движении шариков все время натянута, а нижний шарик скользит по поверхности стола. Верхний шарик опишет половину эллипса (рис. 14.2) и ударится о поверхность. Перед ударом его скорость по модулю равна v0 и направлена вертикально вниз. Если удар о поверхность абсолютно упругий, то эта скорость изменит направление на противоположное и шарик опишет ту же траекторию в обратном направлении. ^
15. Стержень с шариками. На идеально гладкой горизонтальной поверхности вертикально стоит гантель, представляющая собой два одинаковых шарика, соединенных невесомым стержнем длины I. Нижнему шарику мгновенно сообщают скорость va в горизонтальном направлении (рис. 15.1). При каких значениях и0 шарик будет скользить, не отрываясь от плоскости? Какова будет скорость верхнего шарика в момент его удара о горизонтальную поверхность?
Л На все поставленные в условии вопросы гораздо легче ответить, если рассматривать движение гантели в системе отсчета, где ее центр масс движется по вертикали. Очевидно, что такая система отсчета движется относительно
15. СТЕРЖЕНЬ С ШАРИКАМИ
71
лабораторной системы отсчета с постоянной скоростью vJ2, направленной горизонтально, и тоже является инерциаль-ной. В этой системе отсчета скорости шариков в начальный момент равны v0!2 и направлены горизонтально в противоположные стороны (рис. 15.2).
Выясним, при каком условии нижний шарик оторвался бы от поверхности. Ясно, что в этом случае сила реакции поверхности равна нулю, и, следовательно, гантель падает
о v°/2 Т
б
Рис. 15.1. Начальное поло- Рис. 15.2. Скорости шариков в на-жение гантели чальный момент в системе отсчета,
