Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
66
II. ДИНАМИКА И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
поверхности? Трением шарика о поверхность пренебречь. При исследовании условия отрыва нижнего шарика силу натяжения нити считать максимальной при вертикальном положении нити.
А Предположим, что начальная скорость и0 такова, что эти условия выполнены, т. е. при движении шариков нить все время остается натянутой, а нижний шарик не отрывается от поверхности. По каким траекториям тогда движутся шарики? Ясно, что нижний шарик движется прямолинейно, а верхний описывает некоторую кривую (рис. 14.2). Чтобы выяснить, что это за кривая, воспользуемся тем, что при вертикальной начальной скорости центр масс шариков в отсутствие треиия нижнего шарика о поверхность стола может двигаться только по вертикали.
Введем систему координат так, что ось х направлена горизонтально вдоль нити, соединяющей шарики, а ось у —
вертикально и проходит через центр масс шариков. При таком выборе осей нижний шарик будет двигаться вдоль оси х, центр масс С — вдоль оси у, а верхний шарик — по кривой, лежащей в плоскости х, у. Непосредственно из рис. 14.2 видно, что координаты верхнего шарика х и у можно выразить через угол а, образуемый натянутой нитью с горизонтом:
х={И2) cos a, y=l sin а. (1)
Если из этих соотношений исключить угол а, то получится уравнение траектории верхнего шарика. Разделив первое соотношение на 1/2, второе на /, возводя их в квадрат и складывая, находим
у2
•цщ» + Т2" = 1 • (2)
Это уравнение эллипса с полуосями 1/2 и I.
Для того чтобы выяснить, при какой начальной скорости
о0 движение шариков будет именно таким, нужно рассчитать силу натяжения соединяющей их нити. Скорость и0 должна быть достаточно большой, так чтобы сила натяжения нити ни в какой точке траектории не обращалась в нуль. С другой стороны, эта скорость не должна быть слишком большой, ибо если вертикальная составляющая силы натяжения нити
Рис. 14.2. Верхний шарик движется по эллипсу с полуосями I/2 и /
14. СВЯЗАННЫЕ ШАРИКИ
67
превысит действующую на шарик силу тяжести mg, то нижний шарик оторвется от поверхности стола.
При данной начальной скорости сила натяжения нити Т ослабевает по мере подъема шарика. Так происходит потому, что с приближением к верхней точке траектории скорость верхнего шарика уменьшается, а действующая на него сила тяжести играет все большую роль в искривлении его траектории, и, следовательно, роль силы натяжения уменьшается. Поэтому для нахождения наименьшей начальной скорости, при которой нить еще остается натянутой вплоть до верхней точки А траектории, составим уравнение второго закона Ньютона для верхнего шарика в этой точке. Так как в точке А ускорение направлено вертикально вниз, т. е. по нормали к траектории, то оно равно отношению квадрата скорости ^ шарика в этой точке к радиусу кривизны траектории R. Поэтому
T+tng=tnv\/R. (3)
Нить останется натянутой, если вычисленная из уравнения (3) сила натяжения Т будет положительной: Т~>0. Мы видим, что для нахождения Т нужно знать ^ и R.
Скорость vt проще всего найти с помощью закона сохранения энергии. Так как центр масс шариков не перемещается по горизонтали, то горизонтальные составляющие скоростей обоих шариков в любой момент времени равны по модулю и направлены в противоположные стороны. Поэтому в момент прохождения верхним шариком наивысшей
точки траектории скорости обоих шаров равны vt. Так как
в этот момент потенциальная энергия равна mgl, то
mvl г, mv 1 ,
— = 2 -Y~ + mgl, (4)
откуда
v\=vV2 -gl. (5)
Теперь нужно найти радиус кривизны эллипса в точке А. Это можно сделать так же, как в задаче 3 раздела «Кинематика», где определялся радиус кривизны циклоиды. Основная идея заключается в том, что рассматриваемую кривую представляют как траекторию какого-либо достаточно простого механического движения и исследуют это движение методами кинематики, пользуясь тем, что радиус кривизны входит в формулу для нормальной составляющей ускорения.
68
II. ДИНАМИКА И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Вместо того чтобы рассматривать действительное движение верхнего шарика, при котором угол а довольно сложным образом зависит от времени, рассмотрим вспомогательное движение некоторой точки по этому же эллипсу, считая, что угол а равномерно меняется со временем: а= =(оt. Для такого вспомогательного движения уравнения (1) принимают вид
x—(U2) cos at, у—I sin at. (6)
Дифференцируя эти уравнения по времени, находим проекции скорости вспомогательного движения на оси координат:
иж=—(all2) sin соt, Vy=(dl cos tot. (7)
Дифференцируя no времени уравнения (7), получаем проекции ускорения:
ах=—(co2//2)cos at, av~—со2/ sin tot. (8)
Рассмотрим тот момент, когда точка, совершающая вспомогательное движение, проходит через точку А эллиптической траектории на рис. 14.2. Этому моменту соответствует со/=я/2, и уравнения (7) и (8) дают
