Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Интересно отметить, что свободное падение ракеты в туннеле представляет собой гармоническое колебание около центра Земли, при котором ракета пролетает через земной шар по диаметру от одного края туннеля до другого. Так происходит потому, что действующая в туннеле сила тяжести направлена к центру Земли и пропорциональна расстоянию до него. С помощью формулы (1) легко найти период таких колебаний. Поскольку частота g!R, то период
Т=2п!(л=2п\^ Rig, что совпадает с периодом обращения спутника по низкой круговой орбите.
Разумеется, осуществление описанного здесь фантастического космического проекта лежит за пределами технических возможностей. Ни прорыть такой туннель через центр Земли, ни откачать из него воздух, что совершенно необходимо для того, чтобы свободное падение ракеты в нем происходило без сопротивления, конечно, невозможно.
80
II. ДИНАМИКА И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Но сама идея использовать поле тяготения для экономии топлива космических кораблей, несомненно, представляет интерес. Например, в космическом путешествии за пределы Солнечной системы можно использовать поле тяготения одной из тяжелых планет для предварительного разгона и включать двигатели корабля для сообщения необходимого импульса вблизи этой планеты. ^
18. Изменение орбиты. В результате трения в верхних слоях атмосферы механическая энергия спутника Земли за много витков уменьшилась на 2 %. Орбита спутника при
этом как была, так и осталась круговой. Как изменились параметры орбиты: радиус г, скорость v, период обращения 77 Д В системе отсчета, связанной с Землей, механическая энергия спутника Е есть сумма его кинетической энергии и потенциальной энергии взаимодействия с Землей (R — радиус Земли):
Р__ mv2 mgR2
2
(О
Так как орбита спутника круговая, то его скорость постоянна и связана с радиусом орбиты соотношением
v2=gR2/r. (2)
С помощью (2) выражение для энергии спутника (1) можно представить в виде
mgR2 . mgR2 mgR2
Рис. 18.1. Зависимость кинетической, потенциальной к полной энергий спутника Земли от радиуса орбиты
Е(г).
2 г
2 г
(3)
Проиллюстрируем соотношение (3) графически. На рис. 18.1 показана зависимость потенциальной, кинетической и полной энергий спутника от радиуса г круговой орбиты. Из рисунка видно, что увеличение механической энергии спутника приводит к увеличению радиуса орбиты. Поскольку при нашем выборе начала отсчета потенциальной энергии полная энергия спутника всегда отрицательна, относительное изменение энергии А Е/Е положительно при ее уменьшении (Л?<;0). Так как по условию полная энер-
18. ИЗМЕНЕНИЕ ОРБИТЫ 81
гия уменьшилась на 2 %, то Л Е/Е положительно и равно
0,02. Соотношение (3) позволяет связать изменение энергии спутника с изменением радиуса орбиты Дг:
?(лН-Лл) = -1-^ = ?(л) + ДЕ. (4)
Правую часть этого выражения при Дг/л<с1 приближенно можно записать так:
<5)
Сравнивая (4) и (5), получаем
? + Д? = ?(1— т. е. AL = —М. = —0,02.
Радиус орбиты также уменьшился на 2 %.
Изменение скорости спутника при изменении орбиты легко выразить через изменение радиуса орбиты с помощью соотношения (2):
(v+Av)2=gR2/(r+Ar). (6)
Поскольку Av/v^l, левую часть этого соотношения приближенно можно записать в виде
Преобразовав правую часть формулы (6) так же, как и при переходе от (4) к (5), получим
откуда, учитывая (2), находим
^ = **0,01.
v 2r 2Е
Скорость спутника увеличилась на 1 %. Обратите внимание, что слабое торможение спутника в верхних слоях атмосферы приводит к увеличению его скорости!
Осталось найти изменение периода обращения. Это легко сделать, зная Аг/г и Av/v, поскольку период связан с радиусом орбиты и скоростью спутника соотношением T=2nr/v. Записывая значение периода обращения при изменившихся радиусе орбиты и скорости спутника:
Т -f- АТ = 2л (г Ar)/(v + Ду),
82
II. ДИНАМИКА и ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
и преобразуя правую пасть подобно тому, как это делалось выше,
у (1+Ди/у) \ г v
находим
Д Т А г Ду ЗА Е q Q2
Т г v 2Е
Период обращения уменьшился на 3 %. А
19. Энергия спутника. Спутник обращается вокруг Земли по круговой орбите радиуса г. В какой пропорции сообщенная ему при запуске энергия распределилась между приращениями потенциальной и кинетической энергий?
А Кинетическую энергию спутника mv2/2, движущегося по круговой орбите, удобно выразить через радиус орбиты г:
EK=mgR42r. (1)
Находясь на поверхности Земли, спутник уже обладает потенциальной энергией. Если, как обычно, выбрать начало отсчета потенциальной энергии на бесконечности, потенциальная энергия спутника на поверхности Земли
