Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
вой орбитой корабля дважды: в точках С и D. Из симметрии рисунка ясно, что модули скоростей на эллиптической орбите в точках С и D одинаковы. Если разложить скорости в этих точках на составляющие по двум взаимно перпендикулярным направлениям — вдоль круговой траектории и вдоль направления на центр Земли,— то, как ясно из рис. 20.3, соответствующие составляющие скорости будут одинаковы по модулю. Поэтому если кораблю в тот момент, когда он проходит через точку D круговой орбиты, сообщить добавочную скорость Ду2, направленную по радиусу от центра Земли (т. е. вертикально вверх!), то корабль сначала будет удаляться от Земли по эллиптической траектории, но потом, двигаясь по ней, все равно придет в точку А.
Уравнение (8) имеет корень (17), соответствующий этому случаю. Это и не удивительно: как закон сохранения энергии (7), так и закон постоянства секторной скорости (6) имеют один и тот же вид независимо от того, направлена ли добавочная скорость Ду2 к центру или от центра Земли.
Рис. 20.3. Снижение корабля в точку А возможно при сообщении ему в точке D импульса, направленного от центра Земли
21. МЕТЕОРИТ
89
В случае низкой круговой орбиты возвращение на Землю по такому необычному способу займет, как это видно из рис. 20.3, приблизительно три четверти оборота вокруг Земли. А
21. Метеорит. На какой угол изменится направление скорости пролетающего мимо Земли метеорита под действием земного притяжения? Скорость метеорита на большом расстоянии от Земли v0, прицельное расстояние /.
А Качественно характер зависимости угла отклонения метеорита от скорости v0 и прицельного расстояния /, т. е. расстояния от центра Земли, на котором пролетел бы метеорит, если бы не было земного притяжения (рис. 21.1), можно установить сразу: при заданной скорости Vo этот угол тем меньше, чем больше /.Это ясно, так как на пролетающий на большом расстоянии метеорит ослабевающее с расстоянием земное притяжение влияет слабо.
При заданном / угол отклонения тем меньше, чем больше скорость и„. В самом деле, при большой скорости время пролета мало и сила земного тяготения не успевает вызвать заметного искривления траектории метеорита.
Для получения количественного результата необходимо использовать некоторые свойства гиперболической траектории, по которой движется метеорит, если он приходит к Земле из бесконечности. Гипербола — это геометрическое место точек, разность расстояний до которых от двух заданных точек О и О', называемых фокусами, постоянна: гг—ra=const (рис. 21.1). Один из фокусов гиперболы О совпадает с центром Земли, второй фокус О' лежит на прямой, проходящей через центр Земли и ближайшую к центру точку А траектории. На бесконечно больших расстояниях от Земли как при приближении, так и при удалении- скорость метеорита направлена по асимптотам гиперболы,
Рлс. 21.1. Гиперболическая траектория полета метеорита вблизи Земли
90
II. ДИНАМИКА И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
т. е. задача состоит в нахождении угла 9 между асимптотами. Точка пересечения асимптот лежит посредине между фокусами.
Приравняем разности расстояний от фокусов О и О' до бесконечно удаленной точки (О'В на рис. 21.1) и до ближайшей к центру Земли точки (А на рис. 21.1). Из треугольника ОО'В находим
О'В = 2/ tg (9/2), 00- = ^
Разность расстояний от фокусов до точки А равна АО'—АО=(00 — А О)—АО.
Обозначим через г расстояние АО от центра Земли до ближайшей точки траектории. Теперь условие равенства разности расстояний до выбранных точек можно записать в виде
2/ tg (9/2) = 2/а/0.— 2г.
ь ' ' ' cos (0/2)
Перенося 2г в левую часть, возводя обе части в квадрат и используя тождество 1 /cos2 a = l+tg2a, получаем
tg(9/2) = -^i. (1)
При заданном прицельном расстоянии I расстояние г до ближайшей к центру Земли точки траектории зависит от скорости у0 на бесконечности. Для того чтобы исключить г из формулы (1), воспользуемся законом сохранения энергии
mvo ти2 mgR3 /оч
—2~ ~~ ~2 г I' >
(у — скорость метеорита в точке A, R — радиус Земли) и вторым законом Кеплера, который при движении в центральном поле справедлив и для разомкнутых траекторий:
lv о = rv. (3)
Правая часть этого равенства очевидна, поскольку в ближайшей к Земле точке траектории А вектор скорости v перпендикулярен радиусу Земли. Левая часть этого равенства становится очевидной, если посмотреть на рис.21.2.
Из закона сохранения энергии (2) и формулы (3) легко находим
(/2 — г2)//- = 2 gR/vl,
21. МЕТЕОРИТ
Ei
что после подстановки в (1) дает
tg(6/2) = ^W„.
(4)
Эта формула решает поставленную задачу: определяет угол отклонения метеорита в зависимости от прицельного расстояния и скорости на бесконечности. Угол 0/2 монотонно возрастает от 0 до л/2 при уменьшении произведения liil от оо до 0, что согласуется с приведенными выше качественными соображе- V ниями.
