Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим теперь движение тела по петле с вырезом. Для того чтобы тело могло совершить «мертвую петлю», в этом случае необходимо, чтобы, сорвавшись с края выреза
Рис. 13.4. В разрыве «петли» между точками А и В тело движется по параболе
в точке А и пролетев часть пути по параболе под действием только силы тяжести, оно попало бы как раз на продолжение желоба в точку В (рис. 13.4). Движение после отрыва от желоба происходит по закону
г = gt2l2, (10)
если начало отсчета времени t и положения г выбраны в момент отрыва и в точке отрыва. Так как в точке отрыва А скорость v направлена по касательной к желобу, то, проецируя уравнение (10) на горизонтальное (х) и вертикальное (у) направления и требуя, чтобы траектория проходила через точку В (траектория 1 на рис, 13.4), получим
2R sin (p—v cos ф-/, 0=v бшф-/—gi2/2. (11)
Находя I из второго уравнения и подставляя в первое, получаем
v*=gR/cos ф. (12)
Именно такой скоростью должно обладать тело в момент отрыва, чтобы оно попало в точку В.
64
II. ДИНАМИКА И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Теперь обратим внимание на то, что формула (12) была получена только из кинематических соображений при рассмотрении свободного полета тела от точки А к В. Поэтому необходимо проверить, что при такой скорости в точке А тело действительно сможет дойти до нее, двигаясь по желобу. Другими словами, нужно убедиться, что при такой скорости тело оказывает давление на желоб, т. е. вычисляемая по формуле (3) при сс=ср сила N больше нуля. Подставляя из (12) в формулу (3), получаем
N=mg(l/cos ф—cos ф).
Это выражение неотрицательно при любых ф от 0 до п/2, которые только и представляют интерес. Скорость в точке А связана с искомой начальной высотой h соотношением (5), в котором, разумеется, угол а следует заменить на ф:
v2—2gR(h/R—1—cos ф). (13)
Приравнивая правые части выражений (12) и (13), находим
h=R[l-\-cos ф+ 1/(2 cos ф)]. (14)
Эта формула дает то значение начальной высоты h, при котором тело преодолеет мертвую петлю с вырезом именно так, как нужно,— покинув желоб в точке А, вновь коснется его как раз в точке В. Касание желоба в точке В произойдет без удара, так как скорость тела при движении по параболе в этой точке будет направлена по касательной к желобу.
Если начальная высота будет меньше, чем значение, даваемое формулой (14), то, даже если тело дойдет по желобу до точки А, дальше оно полетит по параболе 2 на рис. 13.4 и ударится о желоб ниже точки В. Если же начальная высота будет больше, чем нужно, то тело вообще вылетит из желоба через разрез, двигаясь по параболе 3.
Исследуем зависимость необходимой начальной высоты h от угла ф, характеризующего вырез. Как видно из формулы (14), при ф=0, т. е. при отсутствии выреза, h=5R/2, что совпадает с минимальной начальной высотой (9), которая требуется для преодоления замкнутой петли. С увеличением угла ф начальная высота убывает, достигая минимума, равного h = (1 + V2) R, при ф=л/4. Действительно, зависящие от ф слагаемые в формуле (14) cos ф+1/(2 cos ф) можно записать в виде
71 (* + ^)’
14. СВЯЗАННЫЕ ШАРИКИ
05
где через х обозначено V2 cos ср. Но х-\-\!х имеет минимум, равный двум, при х=1, откуда и получаются приведенные значения минимальной высоты h и угла <р=л/4. При дальнейшем увеличении угла ф высота h монотонно возрастает и стремится к бесконечности при ср -> л/2 (рис. 13.5). При ср=зх/3, как легко убедиться, высота h снова равна 5/^/2. Таким образом, если угол выреза меньше л/3, необходимая начальная высота меньше, чем при замкнутом желобе.
Интересно отметить, что высшая точка траектории / в разрезе желоба (рис. 13.4) при любых углах ф лежит выше продолжения окружности. Действительно, максимальная высота подъема тела после отрыва в точке А равна
v4\n2ql(2g),
что после подстановки и2 из (12) дает
R sin2 ф/(2 cos ф).
Поэтому высота этой точки траектории над центром окружности О, как видно из рис. 13.4, равна
Рис. 13.5. При 0<ф<л/3 начальная высота h почти не зависит от угла ф
и п 1 R sin ф R (
Н == R cos ф + -о---------------— = cos ф -т------------------
г 2 совф 2 \ соэф
Это выражение больше R при любых ф от 0 до я/2. А
14. Связанные шарики. Два одинаковых маленьких шарика, связанных нерастяжимой невесомой нитью длины / (рис. 14.1), лежат на гладкой горизонтальной поверхности. Одному из шариков сообщают скорость v0, направленную вертикально вверх. Какой должна быть начальная
Рис. 14.1. Одинаковые шарики свя- 0
заны нерастяжимой нитью ^
ГгУ/МШ77777?Й/7тм/777?Ят/
скорость для того, чтобы нить все время оставалась натянутой, а нижний шарик не отрывался от горизонтальной
