Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
движущейся вправо со скоростью vj2
т.
с ускорением свободного падения. Поскольку гантель еще и вращается вокруг центра масс, то нижний шарик имеет связанное с этим вращением центростремительное ускорение ац, направленное вверх:
_ К/2)2 _ vl m
“д 1/2 21' ^
Шарик оторвется от поверхности, если at^>g. В противоположном случае (ац<^) шарик не отрывается. Для этого его скорость должна удовлетворять условию
Vl < 2gl. (2)
Для нахождения скорости верхнего шарика в момент удара можно воспользоваться законом сохранения энергии. В этот момент во введенной системе отсчета его
скорость vx направлена вертикально вниз, а скорость скользившего по поверхности шарика обращается в нуль
(рнс. 15.3). Действительно, в этой системе отсчета центр масс падает по вертикали. В момент падения гантели на поверхность стержень, соединяющий шарики, расположен горизонтально, поэтому горизонтальные составляющие скоростей всех его точек, в том числе середины и концов, в момент падения равны нулю.
72 И. ДИНАМИКА И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Таким образом, закон сохранения энергии во введенной системе отсчета можно записать в виде
mv\
1, (3)
откуда
v\-
2gl + vll2. (4)
В лабораторной системе отсчета скорость v падающего шарика в момент удара определяется выражением
t»2 = »i + (oo/2), = 2^ + 3u8/4. (5)
Направление этой скорости, как видно из рис. 15.4, составляет угол а с вертикалью, тангенс которого равен отношению у ()/2 к Оь
. ио/2 _ flo/2 __________1_______
tga =
vi
К 2gl + vl!2 2 V1 /2 + ‘2gUvl '
(6)
Подчеркнем, что удачный выбор системы отсчета при решении этой задачи позволил обойтись, по существу, всего
ж.
Рис. 15.3. Скорости шариков в момент падения гантели на горизонтальную плоскость в той же системе отсчета
Ряс. 15.4. Скорости шариков в лабораторной системе отсчета
одной простой формулой (3), выражающей закон сохранения энергии. ^
16. Парадокс кинетической энергии. Игрушечный автомобиль с полностью заведенной пружиной может разогнаться до скорости у. Пренебрегая потерями энергии на трение, можно считать, что потенциальная энергия заведенной пружины W целиком превратилась в кинетическую энергию игрушки. Рассмотрим этот же процесс в другой инерциаль-ной системе отсчета, которая движется со скоростью и относительно Земли навстречу игрушечному автомобилю. В этой системе отсчета окончательная скорость игрушки равна 2v, т. е. вдвое больше, а ее кинетическая энергия в
16. ПАРАДОКС КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
73
четыре раза больше, т. е. равна 4 W. Так как в этой системе отсчета автомобиль с самого начала имел кинетическую энергию W, то в результате раскручивания пружины его кинетическая энергия возросла на 3W, а не на W, как в исходной системе отсчета. Между тем потенциальная энергия заведенной пружины в обоих случаях равна W\ Объясните этот парадокс.
Л Парадокс возникает потому, что в приведенных рассуждениях не учитывалась кинетическая энергия Земли и
ее изменение при взаимодействии колес игрушки с дорогой. Если же это изменение учесть аккуратно, то никакого парадокса вообще не возникает и закон сохранения энергии, разумеется, оказывается выполненным.
Рассмотрим сначала систему отсчета, в которой Земля неподвижна. В этой системе отсчета до разгона автомобиля полный импульс равен нулю. При разгоне автомобиля он приобретает скорость V, а Земля приобретает скорость V, направленную противоположно (V<0). Полный импульс системы остается неизменным, поэтому
где т — масса игрушки, М — масса Земли.
Так как действующая на Землю со стороны колес игрушки сила не проходит через центр Земли, то кроме поступательного движения со скоростью V Земля приходит также и во вращение с некоторой уголовой скоростью со (рис. 16.1). Забудем пока об этом вращении Земли и будем считать, что Земля движется только поступательно.
При раскручивании пружины ее потенциальная энергия W превращается в кинетическую энергию игрушки и Земли:
v
Рис. 16.1. Разгоняясь, заводная игрушка сообщает Земле не только поступательное движение со скоростью V, но и вращение с угловой скоростью со
mo+MV=О,
(1)
MV2 2
(2)
Выражая V из уравнения (1) и подставляя в (2), находим
«7 = ^(1 +-JJ-). (3)
74
II. ДИНАМИКА И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Так как масса игрушки т неизмеримо меньше массы Земли (т/М-Cl), то, как видно из формулы (3), практически вся энергия пружины превращается в кинетическую энергию игрушки.
Теперь рассмотрим тот же процесс с точки зрения второй системы отсчета, в которой скорость игрушки и Земли сначала равна V. Полный импульс в этой системе отсчета равен (m-\-M)v. После разгона скорость игрушки равна 2v, а скорость Земли обозначим через Vi. На основании закона сохранения импульса