Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
+ (а2b + b2) sin (k2t + Pi + ?2) + d2 sin t + e2 cos t,
где kv k2, alt a2, du d2, elr e2 — те же, что и в решении
(5.85). Будем считать, что а, Ь, {5Х и р2 — медленно меняющиеся функции времени, производные от которых по времени имеют порядок ц,, а «поправки» на амплитуды а2 и Ь2 и частоты 7i и у2 — медленно меняющиеся функции времени порядка ц,, производные от которых по времени имеют порядок ц,2. Для удобства вычислений перепишем решение (5.90) в виде (пренебрегая членами порядка ц.2):
qx = a sin (kxt + Pi) + Ь sin (k2t -(- p2) + dx sin t +
+ e± cos t,
q2 = (axa + a2) sin (kxt + px) + (a2b + b2) sin (k2t + p2) +
+ % cos (kjt + px) + bx cos (k%t + p2) + d2 sin t +
+ e2 cos t, (5.91)
где aj и — медленно меняющиеся функции порядка ц,. Подставляя решение (5.91) в систему уравнений (5.84), получим, сохраняя только члены порядка ц,,
[2акг (1 + a^i) + ах (Вх — Ахк\)] cos ? +
-)- [26к2 (1 -)- <х2Аj) -)- Ъх (Вх — AJt^)\ cos т| -(-
-)- [—2ак^1 (1 -)- агА г) -)- я2 (Вг — А^к^)] sin ^ -)-
+ [—2bk2$2 (1 + а2Ах) + Ъ2 (Вг — Ati§] sin т} = ц/*,
[2dkx (aj -)- А2) -f- iji2 — кх) dj] cos ^ -f-
-)- [2bk2 (a2 -f- A2) -)- (n2 — A?) fejJ cost] -f-
+ [—2aA;131 (аг + A2) + (n\ — kl) a2] sin ? +
+ [— 2bk2$2 (a2 + A2) + (n22 — kl)b2] sin r| = \ig*.
Умножим теперь последовательно полученные уравнения на cos 5, cos г|, sin Е, sin т] и возьмем их средние значения
172 КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 5
за периоды 2л/кх, 2я/к2 и 2л. В результате этого получим
2аку (1 + ахAy) + ay (By — Aykl) =
2aky (oCy 4~ A 2) ^1 2 A'l) ==
2bk2 (1 a2Ay) + by (By — Ayk\) = l^F2,
2bk2 (ay + ^2) + by (mz — /c2) = ^iG2,
—2akyfty (1 4- ayAy) 4" a2 (By — Ayky) = |xF3,
—2aky$y (0^ -\- A4- a,2 (n\ — ky) = ц6г3,
—2bk$2 (1 4- a2Ay) 4 ^2 (By — Ayk2) = |xF4,
—2bk$2 (a2 4“ A2) 4- b2 (n2 — k2) = J1G4.
Исключая из этих уравнений ах, а2, by и Ь2, получаем уравнения (5.57) и (5.58), но Fy, . . ., F4, Glt . . ., б?4 определяются уже формулами (5.88). Отметим, что рассмотренный метод получения укороченных уравнений более прост, чем рассмотренный в § 5 гл. 3, и может быть использован достаточно просто и для систем более высокого порядка *).
Рассмотрим второй случай, когда одна из главных частот линейной системы равна частоте внешнего воздействия. Предположим при этом, что амплитуда внешнего воздействия имеет порядок ji. Пусть уравнения движения будут
<jy + Axq2 + Byq2 4- n\qy = ц/ (qx, (у, q2, q2, t), q2 + A2qy + B2qy + n*q2 = \ig (q±, f l5 q2, ('2. t), где нелинейные функции / и g обладают свойством / (<7i, (1, (ъ, in t 4- 2л) = / (qx, Су, q2, (2, t), g (Я1, (1, ?2, ('2, t + 2л) = g (qy, <jy, q2, (2, t).
Предполагая, что kl^> k\ = 1, решение системы (5.92) ищем в виде
qy = ay sin t 4- a2 cos t 4- b sin (k2t -f ’Ф), q2 = ауйу sin t 4- «1^2 cos t + a2b sin (k2t 4- ’Ф),
где ay, a2, бит)) будем считать медленно меняющимися функциями времени. Аналогично предыдущим случаям получим для определения ах, а2, Ъ и приближенные
*) При анализе движения системы в решении (5.91) членами порядка (х следует пренебречь.
§ 5] НЕАВТОНОМНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 173
уравнения:
dt
da9.
dt
2з (*« - 1)
H?pftf. + (V2_ejc.
db p, f AA B2 * 2 * 1
TT = -2i„ L «,-*-+<'***.
it _------r »1
2fc25 (fc| — 1) L «2 j
где (? = k2t + if)
2Я 2Я 2Я 2Я
(5.94)
= InT jj J cos ^ dt, = 2^F jj j) 8* cos t dt dt,
0 0 0 0 . .
2Л 2Я 2Я 2Я
5 f*sintd%dt, сг=.-2^г^ ^ g*shitdldt,
0 0 0 0
(5.95)
2Я 2Я 2Я 2Я
= ~b? C0S ^ dt' G* = 2^ jj jj ?* cos ? dt'
0 0 0 0
2Я 2Я 2Я 2Я
f*sinldldt, G* — ~^ g*sintdtdt,
0 0
/* = / (flj sin t + a2 cos t b sin ?,
a! cos t — a2 sin t + bk2 cos ?, sin t + axa2 cos t + аф sin g,
ajflj cos t — аха.2 sin t -f афк2 cos ?, t), g* = g (a1 sin t + a3 cos t -f b sin E,
