Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
§ 6] НЕАВТОНОМНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 187
няющихся функций времени аи Ъх, Ъ2 и г|) будут
),
(“57 F2 + *&) ’
(5.119)
1 / Х3 р , п \
a4T--^-[4rFi + K&)'
цп?/
где T = T7i----Г5Г > величины Fu . . ., Fit Gu . . ., G4 опреде-
^(1 — kj)
ляются по формулам (5.117), в которых 14 = kxt -J- ijj,
/* = / (a sin ri -f- bx sin t -f- b2 cos t,
akx cos r) + cos t — b2 sin t, axa cos 14 + a2b1 cos t — a2b2 sin t,
—a1ak1 sin 14 — a2bx sin t — a2b2 cos t), g* = g (a sin 11 + ^1 sin t -f- b2 cos t,
akx cos 14 -f- bx cos t — b2 sin t, axa cos 11 + a2b1 cos t — a2b2 sin t,
—a 1ak1 sin — a2bx sin t — a2b2 cos t).
В качестве примера рассмотрим поведение гироскопического маятника, рассмотренного в § 5 гл. 4, при действии на него внешней синусоидальной силы Q' sin pt *). Уравнения движения маятника в этом случае будут иметь вид
О*
a — Kjfi + nla = (— Хха) Н---sin pt,
Р + и2* + ПаР = (3 — ^гР3)>
где сохранены те же обозначения, что и в § 5 гл. 4.
Введя т = pt, получим
-S' - ^ (-“5г) + Q sin т>
d2P - da _2r_ - / dP d3P\ (5.120)
*) Задача о вынужденных колебаниях системы двух колебательных контуров типа Ван-дер-Поля в условиях гироскопической связи с применением приведенного здесь метода решалась Дельшамб-ром [17].
da
dx
м-
«1
dbj
dx
-rf-g-f.-KA
188
КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 5
где
2 *¦-
„ Q’ - Xi - х2 _2 п1 -2 пг у' -is
’ Xl_~ “jT’ Хз —-у. "i-y - h—KP ¦
Уравнения (5.120) имеют вид уравнений (5.110). Поэтому, если искать решение этих уравнений в виде
а = a sin (кхх + Pi) + 6 sin (к2т + р2) + dx sin т,
(5.121)
Р = «j a cos (A-jT + Pi) + OL2b cos (к2т + р.2) f р2 cos т> где
U>1 — i)Q — х2(?
Д ’ 2— д
~2-2
А — 1 — (^i ^2 ^i^2) ~Ь ^1^2>
то получим для определения а, 6, и |32 следующие уравнения:
= Ли [а0 — и — 2j>], = — 2и — и], (5.122)
Pj = const, Р2 = const,
где
и = а\а2к\, v — a]b2k], а0 — аа — 2е% Р0 = Ь0 — 2е!,
«„* (1-1.414), „а= ‘ (i-x.4^4
0 ЗЛ2 V 1 *2„2 J О ЗЛ2 \ к\~п\
3 3 — П1
^-4^2-L-r-L>o, в=4-х2^-т-^>о,
т, =
Уравнения (5.122) совпадут с уравнениями (5.100), если там использовать обозначения (5.101) и заменить на е\-Следовательно, все выводы, сделанные при исследовании уравнений (5.100), справедливы и для уравнений (5.122), т. е. особые точки и их зависимость от а0, Ь0 и е\ (амплитуды внешнего воздействия) будут те же самые (см. табл. 3).
В случае 1 (а0 <0, Ь0 < 0) исходная динамическая система при отсутствии внешней силы находится в равновесии. При включении внешней силы система переходит к периодическому движению с частотой внешней силы.
НЕАВТОНОМНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
189
В случае 2 (а0 > О, Ь0 С 0) или 3 (а0 > 2Ь0, Ь0 > 0) система при отсутствии внешней силы совершает периодическое движение с частотой кх. При включении внешней силы система совершает устойчивое бигармоническое движение с частотами кг и р (частота внешней силы). При дальнейшем увеличении амплитуды внешней силы (при е\ ^> а012) система переходит к периодическому движению с частотой внешней силы.
Рис. 5.35 Рис. 5.36
Па рис. 5.35 представлены суммы квадратов амплитуд бигармопического движения для случаев 2 и 3 (Rl = а0 —
— 2е\ + е2 — ао — е1) и квадрат амплитуды периодического движения (R\ = el)\ части рисунка, соответствующие устойчивым движениям, выделены жирно.
В случае 3 (а0 ^> Ь0, Ь0 0, 2Ь0 а0), в отсутствие внешней силы, система может совершать любое из двух устойчивых периодических движений с частотами кх или к2 в зависимости от начальных условий. При включении внешней силы возможны бигармонические движения с частотами кг и р или к2 и р. При дальнейшем увеличении амплитуды внешней силы в системе возможно только би-гармоническое движение с частотами кг и р. При е\
а0/2 система совершает периодическое движение с частотой р.
На рис. 5.36 представлена сумма квадратов амплитуд бигармонических движений R\ = а0 — е\, R\ -- b0 — е\
190 КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 5
и квадрат амплитуды периодического движения Rl = el (устойчивые части выделены жирно).
