Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
В случаях 2 и 3 при отсутствии внешней силы (dx = 0) генератор совершает периодическое движение с частотой кх\ под действием внешней силы получается бигармони-ческое движение с частотами кх и р, а затем при dl ^> а0/2 периодическое движение с частотой р.
В случае 4 при dx = 0 система может совершать любое из двух периодических движений с частотой кх или к2 в зависимости от начальных условий. При малой амплитуде внешнего воздействия < (2Ь0 — а0)/2 система может совершать любое из двух бигармонических движений с частотами р и кг или р и к2, при дальнейшем увеличении амплитуды внешнего воздействия, пока Ъ0/2 d{ ^>
^> (2Ъ0 — а0)/2, становится возможным лишь одно би-гармоническое движение с частотами кх и р, а при dx ^> а0/2 будет лишь одно периодическое движение с частотой внешней силы.
Рассмотрим теперь случай, когда кх = р. Будем считать, что в уравнениях (5.98) Я, = где
Решение уравнений (5.98) ищем в этом случае в виде (5.93), т. е.
qx = ах sin т + а2 cos т + Ь sin (Л8т + ^), q2 = о.ха sin т + cos т + а2Ь sin (к2т + г|з), где к2 = к2/р и кх = kjp являются корнями уравнения
Y
Ms — nCi •
MS
ok4 — (п\ + nl) к2 + п\п\ = 0. Уравнения (5.94) будут иметь вид
du
178 КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 5
Таблица 3
Случай d, P, Р 2 Рь Р*
1 d1 = 0 Устойчи Нет Нет Нет
а0<0 вый узел
d?>0 Устойчи Нет Нет Нет
вый узел
2 ii = 0 Седло Нет У стойчи- Нет
а0> 0 1 вый узел
-?->d?>0 Седло Нет У стойчи- Нет
вый узел
^2 ао У стойчи- Нет Нет Нет
dl> --- вый узел
3 =0 Неустой Седло У стойчи- Нет
а0 26 о чивый вый узел
6о>0 узел
-^>4>0 Неустой Седло Устойчи Нет
чивый вый узел
узел
-> ^2 ^ _&0_ Седло Нет У стойчи- Нет
2 >di> 2 вый узел
Устойчи Нет Нет Нет
вый узел
4 di = 0 Неустой Устойчи Устойчи Седло
Чо 6о чивый вый узел вый узел
6о>0 узел
26° “а° >d?>° Неустой Устойчи Устойчи Седло
чивый вый узел вый узел
узел
&о__,2^ 260 --- ао Неустой Седло Устойчи Нет
2 >dl> 2 чивый вый узел
узел
а° > d2~> 6° Седло Нет Устойчи Нет
2 >dl> 2 вый узел
d2-> --- Устойчи Нет Нет Нет
вый узел
Случаи, когда 60>ао, 2а0>60; *о>2а0, а0>0; а0<0, 6о>0,
аналогичны.
§ 5] НЕАВТОНОМНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 179
ГДе
и = я2, v = ах, w = Ь2 О,
и р® — л2 1 п? — к}
т --- Л ____________L. т F — __ 2 2 \ О
8з р,_*| Т’ 2 р,_„я >U’
В соответствии с выражением (5.102) можно сказать, что особые точки системы (5.103), расположенные на плоскости uv пространства uvw, соответствуют периодическим движениям генератора с частотой р — kv Особые точки, расположенные на оси w, соответствуют периодическим движениям с частотой к2. Особые точки, расположенные вне осей и, v и w, соответствуют бигармоническим движениям с частотами кх = р и к2. Обозначив р = и2 + г;2, получим уравнения для определения особых точек в виде
и* = р, v = 0, (5.104)
р [а0 — (р + 2ш)]2 = 16^i> (5.105)
w (b0 — 2р — w) =0. (5.106)
Из этих уравнений следует, что особые точки плоскости uv расположены на оси и и определяются уравнением
Р К - Р)2 = 16А2, (5.107)
которое одновременно определяет амплитудную кривую соответствующих периодических движений частоты кг=р.
Напомним, что устойчивость состояния равновесия
х = х0, у = у0, z — z0 системы уравнений
J±=P1 (;г, у, z), = Р2 (х, у, г), -^Г = Р3 (х, у, z)
определяется корнями характеристического уравнения Р'1Х (*о, Уо, zo) — S Р'1у (я0, Уо, 20) P'lz {х0, у0, z0)
